Dez cartões estão numerados de $1$ a $10$. Depois de embaralhados, são formados dois conjuntos de $5$ cartões cada. Determine a probabilidade de que os números $9$ e $10$ apareçam num mesmo conjunto.

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ITA IIIT 23/11/2021 20:45
$-$ Comecemos pelo mais simples no momento, nosso espaço amostral $(W)$, que não é nada mais do que todos os dois conjuntos de $5$ cartões cada, dado os $10$ cartões. \begin{matrix} \#W = C_{10}^{5}.C_{5}^{5} = {\large{\frac{10!}{5!.5!}}} = 4.9.7 \end{matrix}Agora, vejamos nosso evento favorável $(X)$: $9 \ e \ 10$ juntos num conjunto \begin{matrix} \#X= \color{royalblue}{2}. C_{8}^{3}.C_{5}^{5} = {\large{ \frac{8!}{3!.5!}}} = 2.8.7 \end{matrix} $\color{orangered}{Adendo:}$ Atente ao fato que, fixamos os dois números ($10$ e $9$) em um conjunto, porém, há $2$ modos de colocá-los, pois podem estar tanto em um quanto em outro conjunto, por isso o $2$ em azul. Calculando a probabilidade de $(X)$ : \begin{matrix} P(X) = {\large{\frac{\#X}{\#W}}} = {\large{\frac{2.8.7}{4.9.7}}} = {\large{\frac{4}{9}}} \end{matrix}
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