Do enunciado, tem-se:$$2\cdot \sin x \cos x = 2\cdot \dfrac{2}{5} \implies \sin 2x = \dfrac{4}{5}$$Logo:$$\cos 2x = \pm ~\dfrac{3}{5}$$Pelas relações de arco-metade, sabe-se que:$$\tg x = \dfrac{\sin x}{\cos x} = \dfrac{\sqrt{\dfrac{1-\cos 2x}{2}~}}{\sqrt{\dfrac{1+\cos 2x}{2}~}} = \sqrt{\dfrac{1-\cos 2x}{1+\cos 2x}~}$$ Assim:$$\tg x_1 = \sqrt{\dfrac{1+\frac{3}{5}}{1-\frac{3}{5}}~} = 2$$$$\tg x_2 = \sqrt{\dfrac{1-\frac{3}{5}}{1+\frac{3}{5}}~} = \dfrac{1}{2}$$ Portanto, do produto e da soma dos possíveis valores, temos:$$\tg_1 x \cdot \tg_2 x = 1$$$$\tg_1 x + \tg_2 x = \dfrac{5}{2}$$ $$\pu{Alternativa } \mathbb{(B)}$$ Algo importante a ser ressaltado: Para $\sin 2x = \dfrac{4}{5}$ , pode-se pensar no triângulo $(3, 4, 5)$ , que tem ângulos agudos notáveis (vistos principalmente em livros peruanos): o $2x = 53° \implies x = \dfrac{53°}{2} = 26,5°$, este arco pertencente ao 1° quadrante. Pode-se assumir também $2x = 180° - 53° = 127° \implies x = \dfrac{127°}{2} = 63,5°$, este último também pertencente ao 1° quadrante. Do exposto, assegura-se que os valores do $\sin x$ e $\cos x$ são sempre positivos.

Tendo a Relação Fundamental da trigonometria em mãos, $sen^2\left(x\right)+cos^2\left(x\right)=1$, e a expressão dada pela questão, $sen\left(x\right)+cos\left(x\right)=\frac{2}{5}$. Podemos escrever que: $tg\left(x\right)+cotg\left(x\right)=$ $\frac{sen\left(x\right)}{cos\left(x\right)}+\frac{cos\left(x\right)}{sen\left(x\right)}=$ $\frac{sen^2\left(x\right)+cos^2\left(x\right)}{cos\left(x\right)\cdot sen\left(x\right)}=$ $\frac{sen^2\left(x\right)+cos^2\left(x\right)}{sen\left(x\right)\cdot cos\left(x\right)}=$ $\frac{1}{\frac{2}{5}}=$ $\frac{5}{2}$ ∴ $tg\left(x\right)+cotg\left(x\right)=\frac{5}{2}$ De modo que, $cotg\left(x\right)=tg^{-1}\left(x\right)$. Sendo assim: $tg\left(x\right)+cotg\left(x\right)=\frac{5}{2}$ $tg\left(x\right)+tg^{-1}\left(x\right)=\frac{5}{2}$ $tg\left(x\right)+\frac{1}{tg\left(x\right)}=\frac{5}{2}$ $\frac{tg^2\left(x\right)+1}{tg\left(x\right)}=\frac{5}{2}$ $2\cdot \left(tg^2\left(x\right)+1\right)=5\cdot \left(tg\left(x\right)\right)$ $2\cdot tg^2\left(x\right)+2=5\cdot \left(tg\left(x\right)\right)$ $2\cdot tg^2\left(x\right)+2-5\cdot tg\left(x\right)=0$ $2\cdot tg^2\left(x\right)-5\cdot tg\left(x\right)+2=0$ De modo que, $tg\left(x\right)=m$. $2\cdot m^2-5\cdot m+2=0$ Aplicando a Fórmula Quadrática: $m=\frac{-\left(-5\right)\pm \sqrt{\left(-5\right)^2-4\cdot 2\cdot 2}}{2\cdot 2}$ $m=\frac{5\pm \sqrt{9}}{4}$ $m=\frac{5\pm 3}{4}$ $m'=2$ ∴ $tg\left(x\right)=2$ $m''=\frac{1}{2}$ ∴ $tg\left(x\right)=\frac{1}{2}$ $S=\left\{tg\left(x\right)\:\mid \:tg\left(x\right)=2\:e\:tg\left(x\right)=\frac{1}{2}\right\}$ Contudo a questão pede o produto e a soma de todos os valores da $tg\left(x\right)$. Produto: $2\cdot \frac{1}{2}=$ $\frac{2}{2}=$ 1 Soma: $2+\frac{1}{2}=$ $\frac{4}{2}+\frac{1}{2}=$ $\frac{5}{2}$ Assim, o gabarito é a letra "B". Espero ter ajudado, bons estudos!