Consideremos $R$ o raio do círculo no qual o cone, quando planificado, é setor de $120°$, bem como $r$ o raio da base do cone. Perceba que, como um setor de $120°$ corresponde à terça parte de um círculo, é fácil ver então que a área da superfície lateral do cone é tal que$$A_{L} = \dfrac{\pi R^2}{3} = 3\pi \implies \color{red}{R = 3~\pu{cm}}$$Ademais, vejamos que o comprimento da circunferência que determina a base do cone corresponde ao comprimento do setor do círculo de raio $R$. Matematicamente:$$\dfrac{2\pi R}{3}~=~2\pi r \implies \color{red}{r = 1~\pu{cm}}$$Por último, já sabendo $R$ (por sua vez, geratriz do cone) e $r$, pode-se calcular a altura $h$ do cone:$$R^2 = r^2 + h^2 \implies h^2 = 9-1 \implies \color{red}{h = 2\sqrt{2}}$$Em suma, a área total $A_c$ e o volume $V_c$ deste cone medem, respectivamente:$$\begin{cases}A_c =A_L+\pi r^2 \\V_c = \dfrac{\pi r^2 h}{3} \end{cases} \implies \boxed{\begin{cases}A_c =4\pi ~\pu{cm}^2 \\V_c = \dfrac{2\pi\sqrt{2}}{3}~\pu{cm}^3\end{cases}}$$$$\bf{Alternativa~(A)}$$