Neste problema precisaremos determinar $t_1$, $t_2$, $T_1$ e $T_2$ para calcular a expressão pedida. Começando por $T_1$ e $T_2$, sabemos que o tempo de subida no lançamento oblíquo é dado por $\frac{V_{oy}}{g}$. Portanto: $$\begin{cases}T_1 = \dfrac{V_o\sin\alpha}{g}\\ T_2 = \dfrac{V_o\sin\beta}{g}\end{cases}$$ Já para $t_1$ e $t_2$, vamos começar constatando que o ponto comum das duas trajetórias tem, por definição, as mesmas coordenadas $x_c$ e $y_c$. E assim, podemos exprimir $x_c$ e $y_c$ em função dos tempos de alcance $t_1$ e $t_2$ usando as equações horárias para o lançamento oblíquo: $$\begin{cases} x_c &= V_o\cos\alpha\cdot t_1 = V_o\cos\beta\cdot t_2 \\ y_c &= V_o\sin\alpha t_1-\dfrac{gt_1^2}{2}= V_o\sin\beta t_2-\dfrac{gt_2^2}{2}\end{cases}$$ A partir da primeira equação podemos relacionar $t_1$ e $t_2$: $$t_2 = t_1\cdot\dfrac{\cos\alpha}{\cos\beta}$$ E substituir na segunda equação: $$V_o\sin\alpha t_1-\dfrac{gt_1^2}{2}= V_o\sin\beta t_1\cdot\dfrac{\cos\alpha}{\cos\beta}-\dfrac{g}{2}\cdot\left(t_1\cdot\dfrac{\cos\alpha}{\cos\beta}\right)^2$$ Desenvolvendo, chegamos em: $$t_1 = \dfrac{2V_o}{g}\cdot\cos\beta\cdot\dfrac{\sin(\beta-\alpha)}{\cos^2\alpha-\cos^2\beta}$$ E multiplicando a expressão para $t_1$ por $\frac{\cos\alpha}{\cos\beta}$, podemos determinar $t_2$: $$t_2 = \dfrac{2V_o}{g}\cdot\cos\alpha\cdot\dfrac{\sin(\beta-\alpha)}{\cos^2\alpha-\cos^2\beta}$$ Enfim, para calcular a expressão $t_1T_1+t_2T_2$ pedida no enunciado, basta desenvolver: $$\dfrac{2V_o}{g}\cdot\cos\beta\cdot\dfrac{\sin(\beta-\alpha)}{\cos^2\alpha-\cos^2\beta}\cdot\dfrac{V_o\sin\alpha}{g} + \dfrac{2V_o}{g}\cdot\cos\alpha\cdot\dfrac{\sin(\beta-\alpha)}{\cos^2\alpha-\cos^2\beta}\cdot\dfrac{V_o\sin\beta}{g}$$ Colocando os termos comuns em evidência: $$\dfrac{2V_o^2}{g^2}\cdot\dfrac{\sin(\beta-\alpha)}{\cos^2\alpha-\cos^2\beta}\cdot\left(\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha\right)$$ Identificando a expressão para $\sin(\alpha+\beta)$ acima e fazendo o produto no numerador, chegamos em: $$\dfrac{2V_o^2}{g^2}\cdot\dfrac{(\sin\beta\cos\alpha)^2 - (\sin\alpha\cos\beta)^2}{\cos^2\alpha-\cos^2\beta}$$ Transformando os senos em cossenos: $$\dfrac{2V_o^2}{g^2}\cdot\dfrac{(1-\cos^2\beta)\cos\alpha^2 - (1-\cos^2\alpha)\cos^2\beta}{\cos^2\alpha-\cos^2\beta}$$ Agora é só multiplicar todos os termos do numerador, que cancelará com o denominador. Portanto, chegamos em: $$\boxed{\boxed{\dfrac{2V_o^2}{g^2}\quad\text{Gab. B)}}}$$