Sobre uma mesa sem atrito, uma bola de massa é presa por duas molas alinhadas, de constante de mola e comprimento natural , fixadas nas extremidades da mesa. Então, a bola é deslocada a uma distância na direção perpendicular à linha inicial das molas, como mostra a figura, sendo solta a seguir.
Obtenha a aceleração da bola, usando a aproximação .
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Podemos resolver este problema em duas etapas.
$\text{Etapa 1:}$ Aplicar teorema de Pitágoras a fim de encontrar o deslocamento $\Delta x$.
$$l_{0} + \Delta x = \sqrt{l_{0}^{2} + x^{2}} = \sqrt{l_{0}^{2}\left(1 + \dfrac{x^{2}}{l_{0}^{2}}\right)} = l_{0}\left(1 + \dfrac{x^{2}}{2l_{0}^{2}}\right) \Rightarrow \Delta x = \dfrac{x^{2}}{2l_{0}}.$$
$\color{red}{\text{Obs.: A expressão acima foi obtida a partir da aproximação fornecida pelo anunciado.}}$
$\text{Etapa 2:}$ Utilizar a segunda lei de Newton no bloco de massa $M$ com a resultante na vertical, pois na horizontal se cancelam.
$$2F\sin \theta = Ma \Rightarrow Ma = 2k\dfrac{x^{2}}{2l_{0}}\dfrac{x}{l_{0} + \dfrac{x^{2}}{2l_{0}}} \Rightarrow |a| = \dfrac{2kx^{3}}{M(x^{2} + 2l_{0}^{2})}.$$
Mas, sabe-se que $l_{0} >> x$, então
$$a = - \dfrac{kx^{3}}{Ml_{0}^{2}}.$$
