Pensando na equação algébrica, temos:\begin{matrix} (x - a_1)^3 + (x-a_2)^2 + (x - a_3) =0 \end{matrix}Visto que $x = 0$ é raiz, assim como os temos $a_k$ formam uma progressão geométrica, têm-se:\begin{matrix} -(a_1)^3 + (a_2)^2 - a_3 = 0 \end{matrix}Vamos supor que a razão da progressão seja $q$, então:\begin{matrix} -(2)^3 + (2q)^2 - 2q^2 = 0 &\therefore& q = \pm 2 \end{matrix}Nesse momento, há duas opções diretas: você pode testar os possíveis resultados de $q$ que encontramos acima na equação com $x=0$, ou analisar a soma da progressão. Bem, no intuito de utilizar tudo que o enunciado nos deu - e encontrar $q$ da forma mais fidedigna possível - analisemos a soma da progressão:\begin{matrix} \underset{k=1}{\overset{3}{\sum}} a_k = a_1 + a_2 + a_3 = 6 \end{matrix}Consequentemente,\begin{matrix}q^2 + q -2 =0 &\therefore& q = 1 \ \ \vee \ \ q = -2 \end{matrix}Com isso, verificamos que $q = -2$, resta-nos agora substituindo na equação algébrica e analisar os resultados:\begin{matrix} (x - 2)^3 + (x + 4)^2 + (x - 8) =0 \end{matrix}\begin{matrix} x(x^2 - 5x + 21) = 0 \end{matrix}Analisando as alternativas: $• \ \text{Alternativa (A):}$ $\color{#3368b8}{\text{Correta}}$ Analisando o termo $x^2 - 5x + 21$, e com conhecimento das $\text{fórmulas de Viète}$, nota-se que a soma de todas as raízes é $5$. (Você também poderia simplesmente resolver a equação de segundo grau). $• \ \text{Alternativa (B):}$ $\color{orangered}{\text{Incorreta}}$ Segundo enunciado, $x=0$ é raiz, ou seja, o produto deve ser $0$. $• \ \text{Alternativa (C):}$ $\color{orangered}{\text{Incorreta}}$ Novamente, segundo enunciado, sabemos que $0$ é raiz, e ela é obviamente real, assim como não é maior que $0$. $• \ \text{Alternativa (D):}$ $\color{orangered}{\text{Incorreta}}$ Analisando o discriminante $(\Delta)$ da equação $x^2 - 5x + 21$, nota-se que $\Delta <0$, ou seja, as raízes são complexas. Desse modo, a soma das raízes da equação acima são justamente a soma das raízes não reais, esta que já verificamos ser $5$. $• \ \text{Alternativa (E):}$ $\color{orangered}{\text{Incorreta}}$ Conforme análise anterior\begin{matrix}Letra \ (A) \end{matrix}