Pensando em duas matrizes genéricas, podemos escrever:\begin{matrix} M = \begin{bmatrix} a&b\\c& d \end{bmatrix}&,& N = \begin{bmatrix} x &y\\w& z \end{bmatrix} \end{matrix}Com isso, têm-se:\begin{matrix} MN =\begin{bmatrix} ax+wb & ay+bz \\ cx + dw & cy+dz \end{bmatrix} \\ \\ NM =\begin{bmatrix} ax+ cy & xb+yd \\ aw + cz & wb+dz \end{bmatrix} \end{matrix}Consequentemente, para $ MN=NM$, necessita-se que:\begin{cases} ax+wb &=& ax+ cy \\ ay+bz &=& xb+yd \\ cx + dw &=& aw + cz \\ cy+dz &=& wb+dz \end{cases}Conforme a primeira e última linha, têm-se:\begin{matrix} cy = wb \end{matrix}Observe que a equação acima deve ser satisfeita para qualquer $y$ e $w$ pertencentes aos $\mathbb{R}$. Com isso, certamente precisamos que $c=0$ e $b =0$. Por conseguinte, substituindo o resultado anterior no sistema, constata-se:\begin{cases} ax &=& ax \\ ay &=& yd \\ dw &=& aw \\ dz &=& dz \end{cases}Analisando a segunda e terceira linha, nota-se que as igualdades são satisfeitas apenas quando $a =d$, ou seja, as matrizes $M$ devem de ser na forma:\begin{matrix} M = \begin{bmatrix} a & 0 \\ 0& a \end{bmatrix} & \forall \ a \in \mathbb{R} \end{matrix}