Sobre uma mesa estão dispostos $5$ livros de história, $4$ de biologia e $2$ de espanhol. Determine a probabilidade de os livros serem empilhados sobre a mesa de tal forma que aqueles que tratam do mesmo assunto estejam juntos.

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ITA IIIT 23/11/2021 20:10
$-$ Vamos dividir em partes, primeiro, precisamos descobrir de quantas formas podemos ter os livros empilhados de tal forma que aqueles que tratam do mesmo assunto estejam juntos. Veja que, os $5$ livros de história são idênticos, o que quer dizer que pouco importa como eles serão colocados, só precisam estar juntos, assim, façamos eles serem apenas um elemento. Analogamente, temos os $4$ livros de biologia, façamos eles serem apenas outro elemento, e ao fim, os livros de espanhol, façamos eles serem também apenas outro elemento (diferente dos outros dois). Dessa fora, temos $3$ elementos, de quantas formas podemos permutá-los? Esse será nosso evento favorável $(X)$. \begin{matrix} 3-2-1 &\Rightarrow& \#X = 3! \end{matrix}Agora, vejamos de quantas formas podemos permutar os $11$ livros, esse será nosso espaço amostral $(W)$, teremos: \begin{matrix} \#W = P_{11}^{5,4,2} = {\large{\frac{11!}{5!.4!.2!}}} = 11.10.9.7 \end{matrix}Portanto:\begin{matrix} P(X) = {\large{\frac{\#X}{\#W}}} = {\large{\frac{3!}{11.10.9.7}}} = {\large{\frac{1}{1155}}} & \tiny{\blacksquare} \end{matrix}
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