A princípio, podemos começar analisando o somatório, tal que:\begin{matrix} \underset{n=1}{\overset{89}{\sum}} z^n = z + z^2 + \dots + z^{89} \end{matrix}Observe que o somatório acima confere uma progressão geométrica de razão $z$ e primeiro termo também $z$, ou seja:\begin{matrix}\underset{n=1}{\overset{89}{\sum}} z^n = \dfrac{z(z^{89} - 1)}{z -1} = \dfrac{z^{90} -z}{z -1} & \text{(I)} \end{matrix}Nesse contexto, é válido pensar nas $\text{leis de Moivre}$, isto é, começar analisando a forma polar de $z$, veja:\begin{matrix} z = |z|(\cos{\theta} + i\sin{\theta}) &,& |z| = \sqrt{(-1/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2} = 1 \end{matrix}Consequentemente,\begin{matrix} z = \cos{\theta} + i\sin{\theta} = -\dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{matrix}Com conhecimento do círculo trigonométrico, não é difícil perceber que $\theta = 2\pi/3$. Desse modo, conforme primeira lei de Moivre, temos:\begin{matrix} z^{90} = \cos{(90\theta)} + i\sin{(90\theta)} = \cos{2\pi} + i\sin{2\pi} \end{matrix}Então,\begin{matrix} z^{90} = 1 \end{matrix}Portanto, substituindo os nossos resultados no somatório em $\text{(I)}$, constatamos:\begin{matrix} \underset{n=1}{\overset{89}{\sum}} z^n = \dfrac{1 -z}{z -1} = -1 \ \ \tiny{\blacksquare} \end{matrix}\begin{matrix}Letra \ (B) \end{matrix}

Temos que $z = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i$ , escrevendo $z$ na sua forma polar iremos encontrar que $z = \cos \left(\dfrac{2\pi }{3}\right) + i\sin \left(\dfrac{2\pi }{3}\right)$ $\therefore$ $\sum^{89}_{n = 1}z^n =\sum^{89}_{n = 1}\left( \cos \left(\dfrac{2n\pi }{3}\right) + i\sin \left(\dfrac{2n\pi }{3}\right)\right) $ $= \cos \left(\dfrac{2\pi }{3}\right) + i\sin \left(\dfrac{2\pi }{3}\right) + \cos \left(\dfrac{4\pi }{3}\right) + i\sin \left(\dfrac{4\pi }{3}\right) +\dots + \cos \left(\dfrac{2 \cdot 89 \pi }{3}\right) + i\sin \left(\dfrac{2\cdot 89 \pi }{3}\right)$ $ = \left( \cos \left(\dfrac{2\pi }{3}\right) +\cos \left(\dfrac{4\pi }{3}\right) + \cos \left(2\pi \right) + \cos \left(\dfrac{2\pi }{3}\right) +\cos \left(\dfrac{4\pi }{3}\right) + \cos \left(2\pi \right) + \dots \right ) + i\left( \sin \left(\dfrac{2\pi }{3}\right) +\sin\left(\dfrac{4\pi }{3}\right) + \sin\left(2\pi \right) + \sin \left(\dfrac{2\pi }{3}\right) +\sin \left(\dfrac{4\pi }{3}\right) + \sin \left(2\pi \right) + \dots \right ) $ $= \left(29 \cdot \left( \cos \left(\dfrac{2\pi }{3}\right) +\cos \left(\dfrac{4\pi }{3}\right) + \cos \left(2\pi \right) \right) +\cos \left(\dfrac{2\pi }{3}\right) +\cos \left(\dfrac{4\pi }{3}\right) \right) + i \left(29 \cdot \left( \sin \left(\dfrac{2\pi }{3}\right) +\sin \left(\dfrac{4\pi }{3}\right) + \sin \left(2\pi \right) \right) +\sin \left(\dfrac{2\pi }{3}\right) +\sin \left(\dfrac{4\pi }{3}\right) \right)$ $= \left(\cos \left(\dfrac{2\pi }{3}\right) +\cos \left(\dfrac{4\pi }{3}\right)\right) + i \left(\sin \left(\dfrac{2\pi }{3}\right) +\sin \left(\dfrac{4\pi }{3}\right)\right) $ $ = \left(-\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} \right) + i \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\right) = \boxed{-1}$ $\textbf{Resposta : Alternativa B}$