$• \ \text{Resolução I:}$ $\color{#3368b8}{\text{Briot-Ruffini}}$ Conhecido o algoritmo de $\text{Briot-Ruffini}$, sabido que $1$ é raiz dupla, pode-se fazer: \begin{matrix}\begin{array}{c|ccccc} 1 & 1 & 0 & 1 & a & b \\ \hline & 1 & 1 & 2 & 2+a & 2+a+b \\ \hline & 1&2&4& 6+a\end{array}\end{matrix}Consequentemente,\begin{matrix}\begin{cases} 2+a+b = 0 \\ \ \ \ 2+a \ \ \ = 0 \end{cases} &\therefore& a = -6 &\wedge& b = 4\end{matrix}Portanto,\begin{matrix} \boxed{a^2 - b^3 = -28} \end{matrix}$• \ \text{Resolução II:}$ $\color{#3368b8}{\text{Viète}}$ Conhecida as $\text{fórmulas de Viète}$, têm-se: \begin{cases} 2+ x_3 + x_4 &=& 0 \\ 2(x_3 + x_4) + x_3x_4 &=& 0 \\ x_3 + x_4 + 2x_3x_4 &=& -a \\ x_3x_4 &=& b \end{cases}Relacionando a primeira linha com a segunda, constata-se:\begin{matrix} x_3x_4 = 4 &\therefore& b = 4 \end{matrix}Por fim, relacionando a primeira linha junto com o resultado acima na terceira linha, encontra-se:\begin{matrix} a = -6 \end{matrix}E assim segue o resultado encontrado na primeira resolução.\begin{matrix}Letra \ (C) \end{matrix}