A princípio, estamos tratando da "possibilidade" do sistema enunciado, ou seja, podemos partir das $\text{regras de Cramer}$ no intuito de retirar um panorama geral, assim:\begin{matrix}
\begin{array}{|c:cc|} 1 & 2 & 3 \\ \hdashline 0 & 1 & 2 \\ 3 & -1 & -5c
\end{array} \overset{\text{c.f Chió}}{=} \begin{array}{|cc|} 1 & 2 \\ -7 & -5c -9
\end{array} =5 - 5c
\end{matrix}Nesse contexto, para um sistema possível e determinado, $5 - 5c \ne 0$, ou seja, $ c \ne 1$. Analogamente, para $c =1$ temos um sistema possível e indeterminado ou um sistema impossível. Com isso, veja precisamos de mais informações, vamos supor que $c =1$, logo, o sistema fica:\begin{cases}
\phantom{1}x &+& 2y &+& 3z &=& a \\ \phantom{x}0 &+& \phantom{2}y &+& 2z &=& b \\ 3x &-& \phantom{2}y &-& 5z &=& 0
\end{cases}Multiplicando a primeira linha por $3$, e subtraindo a terceira logo após a multiplicação, temos:\begin{cases}
7y &+& 14z &=& 3a \\ \phantom{2}y &+& 2z &=& b
\end{cases}Multiplicando a linha acima por $7$, constata-se:\begin{cases}
7y &+& 14z &=& 3a \\ 7y &+& 14z &=& 7b
\end{cases}Consequentemente, notamos mais um resultado, caso $3a = 7b$, temos um sistema possível e indeterminado, do contrário, ele certamente será impossível. Portanto, vamos avaliar as opções:
$• \ \text{Alternativa (A):}$ $\color{orangered}{\text{Incorreta}}$
Como visto acima, caso $c =1$ e $3a \ne 7b$ o sistema é impossível.
$• \ \text{Alternativa (B):}$ $\color{#3368b8}{\text{Correta}}$
Conforme resultados anteriores, verificamos que se $c \ne 1$ o sistema é possível e determinando. Por outro lado, também constatamos que ele é possível e indeterminado para $c=1$ com $3a = 7b$.
$• \ \text{Alternativa (C):}$ $\color{orangered}{\text{Incorreta}}$
Caso $3a = 7b$ o sistema é possível e indeterminado.
$• \ \text{Alternativa (D):}$ $\color{orangered}{\text{Incorreta}}$
Assumindo que $3a \ne 7b$, o sistema só é impossível com $c=1$.
$• \ \text{Alternativa (E):}$ $\color{orangered}{\text{Incorreta}}$
Na verdade, neste caso, seria impossível.\begin{matrix}Letra \ (B)
\end{matrix}
