A princípio, denotemos que:\begin{matrix} e^{x} = a &,& e^y = b \end{matrix}Com isso, a expressão fica:\begin{matrix} 4a^2 - 16a + 9b^2 - 54b + 61 = 0 \end{matrix}Com algum conhecimento acerca de cônicas, nota-se que a equação acima - provavelmente - representa uma elipse, assim, vamos tentar reduzir a expressão:\begin{matrix} 4(a^2 - 4a \ {\color{#3368b8}{+4}} ) {\color{#3368b8}{-16}} + 9(b^2 - 6b \ {\color{orangered}{+9}} ) {\color{orangered}{-81}} + 61 = 0 \end{matrix}Então,\begin{matrix} 4(a -2)^2 + 9(b- 3)^2 = 36 \end{matrix}Consequentemente,\begin{matrix} \dfrac{(e^x - 2)^2}{3^2} + \dfrac{(e^y - 3)^2}{2^2} = 1 \end{matrix}Observe que a expressão acima é característica da parte de uma elipse num plano $(e^x,e^y)$, apenas "parte" pois $e^x,e^y >0$, quer dizer, as soluções se encontram no primeiro quadrante - logo, descarta-se aquelas que estão no segundo quadrante. Em suma, sendo uma elipse ou apenas uma parte dela o resultado é o mesmo, isto é, a expressão representa um conjunto com um número infinito de pontos.\begin{matrix}Letra \ (D) \end{matrix}