$• \ \text{A função é injetora?}$ $\color{#3368b8}{\text{Sim}}$ A princípio, vamos verificar se a função é injetora, condição necessária mas não suficiente para bijetividade. No caso, para um função injetora, têm-se:\begin{matrix} f(x) = f(y) &\Leftrightarrow& x = y \end{matrix}Admitindo verdadeira a injetividade:\begin{matrix} \dfrac{3^x - 3^{-x}}{2} = \dfrac{3^y - 3^{-y}}{2} \end{matrix}Então,\begin{matrix} 3^x + 3^{-y} = 3^y + 3^{-x} \\ \\ \dfrac{3^{x+y} + 1}{3^y} = \dfrac{3^{x+y} + 1}{3^x} \\ \\ 3^x = 3^y \end{matrix}Portanto, a função é injetora, visto que $x=y$. $• \ \text{A função é sobrejetora?}$ $\color{#3368b8}{\text{Sim}}$ Agora, precisamos verificar se a função é sobrejetora, caso positivo, a função é bijetora - pois já garantimos que ela injetora. Nesse contexto, precisamos garantir que:\begin{matrix} \forall \ y \in \mathbb{R} \ \exists \ x \in \mathbb{R} \ | \ f(x) = y \end{matrix}Uma forma prática de se verificar é analisar a inversa, mais propriamente, as restrições do domínio para varrer o contradomínio:\begin{matrix} 2f(x) = \dfrac{3^{2x} - 1}{3^x} &\Rightarrow& 3^{2x} - 3^x [2f(x)] - 1 = 0 \end{matrix}Resolvendo a equação de segundo grau em $3^x$, têm-se:\begin{matrix} \Delta &=& [2f(x)]^2 - 4(1)(-1) &=& 4 ( f(x)^2 + 1) \end{matrix}Assim,\begin{matrix}3^x = \dfrac{2f(x) \pm 2\sqrt{f(x)^2 + 1}}{2} \end{matrix}Observe que a raiz negativa não satisfaz, pois, $3^x >0$, logo:\begin{matrix} 3^x = f(x) + \sqrt{f(x)^2 + 1} \end{matrix}Aplicando o logaritmo de base $3$:\begin{matrix} x = \log_{3}{[f(x) + \sqrt{f(x)^2 + 1}]} \end{matrix}Como não há restrições, confirmamos que ela também é bijetora, logo, sua inversa é:\begin{matrix} \boxed{f^{-1}(x) = \log_{3}{[x + \sqrt{x^2 + 1}]}} \end{matrix}