Considere as circunferências $C_1: (x-4)^2+(y-3)^2=4$ e $C_2: (x-10)^2+(y-11)^2=9$. Seja $r$ uma reta tangente interna a $C_1$ e $C_2$, isto é, $r$ tangencia $C_1$ e $C_2$ e intercepta o segmento de reta $\overline{O_1O_2}$ definido pelos centros $O_1$ de $C_1$ e $O_2$ de $C_2$. Os pontos de tangência definem um segmento sobre $r$ que mede
Para facilitar a resolução do problema é recomendado realizar o desenho das circunferências e da reta $r$ no plano cartesiano.
$\cdot$No plano obtemos as circunferências:
$\pi_1$ com centro em $(4,3)$ e raio igual a $2$;
$\pi_2$ com centro em $(10,11)$ e raio igual a $3$.
$\cdot$E os pontos de tangência entre as circunferências e $r$:
$\pi_1$ e $r$: $A$;
$\pi_2$ e $r$: $B$;
$\cdot$A partir disso obtemos o valor de $\overline{O_1O_2}$:
$$\overline{O_1O_2}=\sqrt{(10-4)^2+(11-3)^2}=10$$
Observando as relações trigonométricas dos triângulos formados pelos pontos $O_1$, $O_2$, $A$ e $B$, e considerando o ponto $C$ como o ponto em que $r$ e $O_1O_2$:
$$\theta=O_1ÔA=O_2ÔB\therefore$$
$$2\csc\theta+3\csc\theta=10\Longrightarrow\sin\theta=\dfrac{1}{2}\therefore\theta=\dfrac{\pi}{6}$$
Com o valor de $\theta$ fica simples encontrar o valor de $\overline{AB}$:
$$\overline{AB}=3\cot\dfrac{\pi}{6}+2\cot\dfrac{\pi}{6}=5\sqrt{3}$$
$$Letra\ \ A$$
