A princípio, nota que:\begin{matrix} \arccot{\left( \dfrac{e^x}{e^{2x} - 1}\right)} = \arctan{\left( \dfrac{e^{2x} - 1}{e^x}\right)} \end{matrix}$\color{orangered}{\text{Obs:}}$ Você pode verificar o resultado acima facilmente, esboce um triângulo retângulo, coloque $e^x$ num cateto e $e^{2x} - 1$ noutro, e $voilà$! Com isso, a equação do enunciado fica:\begin{matrix} \arctan{(e^x + 2)} - \arctan{\left( \dfrac{e^{2x} - 1}{e^x}\right)} = \dfrac{\pi}{4} \end{matrix}Denotando os ângulos por,\begin{matrix} \alpha = \arctan{(e^x + 2)} &,& \beta= \arctan{\left( \dfrac{e^{2x} - 1}{e^x}\right)} \end{matrix}Portanto, ao aplicar a função tangente na equação do enunciado, temos:\begin{matrix} \tan{(\alpha - \beta)} = \tan{\dfrac{\pi}{4}} \end{matrix}Consequentemente,\begin{matrix} \tan{\alpha} - \tan{\beta} = 1 + \tan{\alpha}\tan{\beta} \end{matrix}Ou seja,\begin{matrix} (e^x + 2) - \left( \dfrac{e^{2x} - 1}{e^x}\right) = 1 + (e^x + 2)\left( \dfrac{e^{2x} - 1}{e^x}\right) \end{matrix}Então,\begin{matrix} e^{3x} +2e^{2x} - 2e^{x} - 3 = 0 \end{matrix}Por inspeção, nota-se que $e^x = -1$ é raiz da equação, então por Briot-Ruffini:\begin{array}{c|cccc} -1 & 1 & 2 & -2 & -3 \\ \hline & 1 & 1 & -3 & 0 \end{array}$\color{orangered}{\text{Obs:}}$ Note que $e^x = -1$ ser uma raiz não a confere como resolução, visto que o resultado é propriamente inviável, afinal $e^x > 0$. Ao reduzir o polinômio, têm-se agora:\begin{matrix} e^{2x} + e^x -3 = 0 \end{matrix}Resolvendo a equação de segundo grau em $e^x$, constata-se:\begin{matrix} (e^x)_1 = \dfrac{-1 + \sqrt{13}}{2} &,& (e^x)_2 = \dfrac{-1 - \sqrt{13}}{2} \end{matrix}Pondere que $(e^x)_2$ também é inviável como solução. Desse modo, conclui-se que há apenas uma solução, e esta é positiva, visto que $(e^x)_1 > 1$.\begin{matrix}Letra \ (B) \end{matrix}