A princípio, vamos tratar o lado direito da equação:\begin{matrix} (-1) \left[ (\sqrt{2} + i) \left( \dfrac{\sqrt{2} - 1}{3} - i\dfrac{\sqrt{2} + 1}{3} \right)\right]^{12} \end{matrix}\begin{matrix} (-1) \left[ \dfrac{(2 -\sqrt{2}) + (\sqrt{2} + 1)}{3} + i \left( \dfrac{(\sqrt{2} - 1) - (2 +\sqrt{2} ) }{3}\right) \right]^{12} \end{matrix}Então,\begin{matrix} z - \bar{z} + |z|^2 = (-1)(1 - i)^{12} \end{matrix}Consequentemente,\begin{matrix} z - \bar{z} + |z|^2 = 64 \end{matrix}Agora, é possível trabalhar o lado esquerdo da equação, vamos assumir que o complexo $z$ seja na forma $z = x + yi$, assim:\begin{matrix} z - \bar{z} = 2yi &,& |z|^2 = x^2 + y^2 \end{matrix}Observe que o lado esquerdo da equação compreende um número complexo, este que deve ter parte real $ x^2 + y^2$ e imaginária $2yi$. Com isso, constata-se a partir do lado direito:\begin{matrix} 2yi = 0 &,& x^2 + y^2 = 64 \end{matrix}Não é difícil concluir que: \begin{matrix} x = \pm8 &,& y = 0 \end{matrix}Por fim, analisando as alternativas: $• \ \text{Alternativas (A) e (B):}$ $\color{orangered}{\text{Incorretas}}$ Conforme resultados anteriores, sabemos que a parte imaginária do nosso "complexo resultante" é exatamente zero, afinal:\begin{matrix} z - \bar{z} = 2yi &|& y = 0 &\therefore& z - \bar{z} = 0 \end{matrix}$• \ \text{Alternativas (C) e (D):}$ $\color{orangered}{\text{Incorretas}}$ Com conhecimento que o módulo de $|z|$ é:\begin{matrix} |z| = \sqrt{x^2 + y^2} = 8 \end{matrix}Facilmente, nota-se que nenhum dos intervalos descritos compreende o resultado acima. $• \ \text{Alternativa (E):}$ $\color{#3368b8}{\text{Correta}}$ Repare que $z$ é um número real, ou seja, podemos simplesmente escrever:\begin{matrix} \bigg|z + \dfrac{1}{z} \bigg| = \bigg|\pm8 + \dfrac{1}{\pm8} \bigg| > 8 \end{matrix}\begin{matrix}Letra \ (E) \end{matrix}