Se os números reais e, com , maximizam a soma , então é igual a


CossenoGPT

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Nicholas Admin 06/05/2022, 08:49
Essa questão demonstra a importância das fórmulas de Prostaférese: como transformar uma soma de funções trigonométricas em um produto de funções trigonométricas. Neste caso, usaremos:$$\boxed{\sin\alpha + \cos\beta = 2\sin\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)\cdot\cos\left(\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)}$$ Como o problema dá $\alpha+\beta=\frac{4\pi}{3}$ e queremos determinar $\alpha$, então o primeiro passo é substituir $\beta=\frac{4\pi}{3}-\alpha$ na expressão anterior:$$2\sin\left(\dfrac{\frac{4\pi}{3}}{2}\right)\cos\left(\dfrac{2\alpha-\frac{4\pi}{3}}{2}\right)$$Simplificando:$$2\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)\cos\left(\alpha-\frac{2\pi}{3}\right)$$E como $\sin\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{\sqrt 3}{2}$:$$\sqrt{3}\cos\left(\alpha-\frac{2\pi}{3}\right)$$Para que a expressão seja máxima, basta encontrar o valor de $\alpha$ que faça com que o cosseno seja igual a $1$.$$\alpha-\frac{2\pi}{3}=0+2k\pi$$Então $\alpha=\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}$. Lembrando da condição $0\leq\alpha\leq\beta$ e que $\beta=\frac{4\pi}{3}-\alpha$ então:$$0\leq\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi\leq\dfrac{2\pi}{3}-2k\pi$$O único $k$ que satisfaz a condição é $k=0$, fazendo com que:$$\boxed{\alpha=\beta=\dfrac{2\pi}{3}}\qquad\text{Gab. B)}$$
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Thales Meier 04/09/2024, 19:16
Tomemos a soma $\alpha + \beta = \frac{4\pi}{3}$. Logo, $\beta = \frac{4\pi}{3} - \alpha$. Escrevendo a expressão em função de $\alpha$: $$ f(\alpha) = sen(\alpha) + sen(\frac{4\pi}{3} - \alpha) $$ Derivando e igualando a zero: $$ f'(\alpha) = cos(\alpha) + (-1).cos(\frac{4\pi}{3} - \alpha) = 0 \Rightarrow$$ $$ cos(\alpha) = cos(\frac{4\pi}{3} - \alpha) \Rightarrow $$ $$ \alpha = \frac{4\pi}{3} - \alpha \Rightarrow \alpha = \frac{2\pi}{3} = \beta \ \ \ \ \ \ \ ou$$ $$ \alpha = 2\pi - \frac{4\pi}{3} + \alpha \ \ \ (Absurdo)$$ Logo, $\alpha = \beta = \frac{2\pi}{3}$. $$Alternativa \ (B) $$
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Igor Ribeiro 01/08/2023, 09:00
$$\sin \alpha + \sin\left(\frac{4\pi}{3}- \alpha\right) ~=~ \frac{3}{2}\cdot \sin \alpha ~-~ \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \cos \alpha ~=~ f(\alpha)$$Temos $$f(\alpha) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot (\sqrt{3}\cdot \sin \alpha ~-~ \cos \alpha)$$A partir disso, a implicação abaixo ocorre: $$\pu{máx~}{f(\alpha)} ~\implies~\pu{máx~}(\sqrt{3}\cdot \sin \alpha ~-~ \cos \alpha)$$O máximo de uma função da forma $(a\sin \alpha + b\cos \alpha)$ vale $\sqrt{a^2 + b^2~}$. Logo:$$\pu{máx~}(\sqrt{3}\cdot \sin \alpha ~-~ \cos \alpha) = 2$$que ocorre quando $\boxed{\alpha = \dfrac{2\pi}{3}}$ $$\pu{Alternativa } \mathbb{(B)}$$
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