Se os números reais $\alpha$ e$\beta$, com $\alpha + \beta = \frac{4\pi}{3}$, $0\le\alpha\le\beta$ maximizam a soma $\sin\alpha + \sin\beta$, então $\alpha$ é igual a


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Nicholas Admin 06/05/2022 08:49
Essa questão demonstra a importância das fórmulas de Prostaférese: como transformar uma soma de funções trigonométricas em um produto de funções trigonométricas. Neste caso, usaremos:$$\boxed{\sin\alpha + \cos\beta = 2\sin\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)\cdot\cos\left(\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)}$$ Como o problema dá $\alpha+\beta=\frac{4\pi}{3}$ e queremos determinar $\alpha$, então o primeiro passo é substituir $\beta=\frac{4\pi}{3}-\alpha$ na expressão anterior:$$2\sin\left(\dfrac{\frac{4\pi}{3}}{2}\right)\cos\left(\dfrac{2\alpha-\frac{4\pi}{3}}{2}\right)$$Simplificando:$$2\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)\cos\left(\alpha-\frac{2\pi}{3}\right)$$E como $\sin\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{\sqrt 3}{2}$:$$\sqrt{3}\cos\left(\alpha-\frac{2\pi}{3}\right)$$Para que a expressão seja máxima, basta encontrar o valor de $\alpha$ que faça com que o cosseno seja igual a $1$.$$\alpha-\frac{2\pi}{3}=0+2k\pi$$Então $\alpha=\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}$. Lembrando da condição $0\leq\alpha\leq\beta$ e que $\beta=\frac{4\pi}{3}-\alpha$ então:$$0\leq\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi\leq\dfrac{2\pi}{3}-2k\pi$$O único $k$ que satisfaz a condição é $k=0$, fazendo com que:$$\boxed{\alpha=\beta=\dfrac{2\pi}{3}}\qquad\text{Gab. B)}$$
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