Lua e Sol são os principais responsáveis pelas forças de maré. Estas são produzidas devido às diferenças na aceleração gravitacional sofrida por massas distribuídas na Terra em razão das respectivas diferenças de suas distâncias em relação a esses astros. A figura mostra duas massas iguais, , dispostas sobre a superfície da Terra em posições diametralmente opostas e alinhadas em relação à Lua, bem como uma massa situada no centro da Terra. Considere a constante de gravitação universal, a massa da Lua, o raio da Terra e a distância entre os centros da Terra e da Lua. Considere, também, , e as forças produzidas pela Lua respectivamente sobre as massas , e . Determine as diferenças () e () sabendo que deverá usar a aproximação , quando .

CossenoGPT

Teste gratuitamente agora mesmo!
img
Gabriel Rodrigues 27/11/2022, 17:52
Pelo enunciado, temos $$f_{0z} = \dfrac{GMm_{0}}{R^{2}}, f_{1z} = \dfrac{GMm_{1}}{(R+r)^{2}}, f_{2z} = \dfrac{GMm_{2}}{(R-r)^{2}}.$$ Queremos encontrar: $$f_{1z} - f_{0z} = \dfrac{GMm_{1}}{(R+r)^{2}} - \dfrac{GMm_{0}}{R^{2}}$$ $$f_{2z} - f_{0z} = \dfrac{GMm_{2}}{(R-r)^{2}} - \dfrac{GMm_{0}}{R^{2}}$$ Aplicando um truque algébrico: $$\dfrac{1}{(R+r)^{2}} = \dfrac{1}{\left[R \left(1 - \dfrac{r}{R}\right) \right]^{2}} = \dfrac{1}{R^{2}}\left(1 + \dfrac{2r}{R}\right),$$ $$\dfrac{1}{(R-r)^{2}} = \dfrac{1}{\left[R \left(1 - \dfrac{r}{R}\right) \right]^{2}} = \dfrac{1}{R^{2}}\left(1 - \dfrac{2r}{R}\right).$$ Perceba que reescrevi a fração de modo que pudesse utilizar a aproximação fornecida no enunciado. Agora utilizando o fato que $m_{1} = m_{2} = m_{0} = m$, obtemos que $$f_{1z} - f_{0z} = \dfrac{GMm_{1}}{(R+r)^{2}} - \dfrac{GMm_{0}}{R^{2}} = \dfrac{-2GMmr}{R^{3}}$$ $$f_{2z} - f_{0z} = \dfrac{GMm_{2}}{(R-r)^{2}} - \dfrac{GMm_{0}}{R^{2}} = \dfrac{2GMmr}{R^{3}}.$$
img
 Prof Nicholas
11:46 28/11/2022
Excelente resolução! 🚀
Modo de Edição
0 / 5000
ManualLaTeX