$a)$ Seja $f: A \rightarrow B$, $f$ é injetora $\Leftrightarrow$ $\forall x_{1} \ \text{e} \ x_{2} \in A,$ temos $x_{1} = x_{2}$ $\Rightarrow f(x_{1}) = f(x_{2})$. Aplicando a definição de função injetora: $$\dfrac{2x_{1} + 3}{x_{1} + 1} = \dfrac{2x_{2} + 3}{x_{2} + 1} \Leftrightarrow 2x_{1}x_{2} + 2x_{1} + 3x_{2} + 3 = 2x_{1}x_{2} + 2x_{2} + 3x_{1} + 3 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \boxed{x_{1} = x_{2}}.$$ Portanto, $f$ é injetora. $b)$ Como $D$ é domínio da função inversa de $f$, basta encontrar sua inversa e obter seu domínio. $$y = \dfrac{2x + 3}{x + 1} \Leftrightarrow x = \dfrac{3 + y}{y - 2} \Leftrightarrow f^{-1}(x) = \dfrac{3 + x}{x - 2}.$$ Nesse sentido, é insofismável que $D = \mathbb{R} - \{2\}$.