Uma solução alternativa: Veja inicialmente o denominador, perceba que $1 + tg^2\left(\frac{x}{2}\right) = sec²\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1}{cos^{2}\left(\frac{x}{2}\right)}$. Portanto, podemos reescrever a equação como $$S = 2\left[sin (x + \frac{11\pi}{2})+ cotg^{2} x \right] \dfrac{sin\left(\frac{x}{2}\right)}{cos \left(\frac{x}{2}\right)} \cdot cos^2 \left(\frac{x}{2}\right)\\ S = 2\left[sin (x + \frac{11\pi}{2})+ cotg^{2} x \right] sin\left(\frac{x}{2}\right) \cdot cos \left(\frac{x}{2}\right)$$ Agora perceba que podemos utilizar a soma de dois arcos e reduzir a equação: $$S = sin x\left[sin (x + \frac{11\pi}{2})+ cotg^{2} x \right]$$ Utilizando o resultado do estudante ITA IIT, em que $sin \left(x + \frac{11\pi}{2}\right) = - cos x$, podemos encontrar que $$S = sin x\left[- cos x + \dfrac{cos^{2} x}{sin^{2} x} \right]\\ S = - cos x sin x + \dfrac{cos^{2} x}{sin x}\\ S = cotg x \left(cos x - sin^{2} x \right)$$

A princípio, podemos começar com o seno da soma:\begin{matrix} \sin{\left( x + \dfrac{11}{2}\pi\right)} = \sin{\left( x \right)} \cos{\left( \dfrac{11}{2}\pi\right)} + \sin{\left( \dfrac{11}{2}\pi\right)}\cos{\left( x \right)} \end{matrix}\begin{matrix} \sin{\left( x + \dfrac{11}{2}\pi\right)} = - \cos{x} \end{matrix}$\color{orangered}{\text{Obs:}}$ $ \sin{\left( \dfrac{11}{2}\pi\right)} = \sin{\left( \dfrac{3}{2}\pi\right)} = -1$ Com isso, a expressão fica:\begin{matrix} [\cot^2{x} - \cos{x}] \left[ \dfrac{2\tan{\left(\dfrac{x}{2} \right)}}{1 +\tan^2{\left(\dfrac{x}{2} \right)} }\right] \end{matrix}Conhecida a tangente da soma:\begin{matrix} \tan{x} = \dfrac{2\tan{\left(\dfrac{x}{2} \right)} }{1 - \tan^2{\left(\dfrac{x}{2} \right)}} &\Rightarrow& 2\tan{\left(\dfrac{x}{2} \right)} = (\tan{x}) \left[ 1 - \tan^2{\left(\dfrac{x}{2} \right)} \right] \end{matrix}Substituindo o resultado acima na expressão anterior:\begin{matrix} [\cot^2{x} - \cos{x}] (\tan{x}) \left[ \dfrac{1 -\tan^2{\left(\dfrac{x}{2} \right)} }{1 +\tan^2{\left(\dfrac{x}{2} \right)} }\right] \end{matrix}Continuando,\begin{matrix} [\cot^2{x} - \cos{x}] (\tan{x}) \left[ \dfrac{\cos^2{\left(\dfrac{x}{2} \right)} -\sin^2{\left(\dfrac{x}{2} \right)} }{\cos^2{\left(\dfrac{x}{2} \right)} +\sin^2{\left(\dfrac{x}{2} \right)}}\right] \end{matrix}$\color{#3368b8}{\text{Nota:}}$ \begin{matrix} (1): &\cos{x} = \cos^2{\left(\dfrac{x}{2} \right)} -\sin^2{\left(\dfrac{x}{2} \right)} \\ \\ (2): & \cos^2{\left(\dfrac{x}{2} \right)} + \sin^2{\left(\dfrac{x}{2} \right)} = 1 \end{matrix}Consequentemente,\begin{matrix} [\cot^2{x} - \cos{x}] (\tan{x}) (\cos{x}) \end{matrix}Portanto, a expressão do enunciado equivale a:\begin{matrix} [\cos{x} - \sin^2{x}] \cot{x} \end{matrix}\begin{matrix}Letra \ (A) \end{matrix}