A ideia principal é trabalhar com a equação biquadrada. Assim, como nos é solicitado raízes reais simples, isto é, com multiplicidade $1$, o discriminante deve ser obrigatoriamente maior que zero. Dessa forma,\begin{matrix} \Delta = (2\sqrt[4]{3})^2 - 4\tan{\alpha} >0 \end{matrix}Consequentemente,\begin{matrix} \tan{\alpha} < \sqrt{3} &\therefore& \alpha < \dfrac{\pi}{3} \end{matrix}Atente ao fato que o resultado acima nos diz respeito apenas as raízes reais e distintas, não avaliando condição de existência do $x^2$. Em outras palavras, resolvemos a equação biquadrada para um $y = x^2$, agora, precisamos garantir que $x^2 >0$. Nesse sentido, vale pensar nas $\text{Fórmulas de Viète}$, estas que nos garante:\begin{matrix} \overset{2}{\underset{i=1}{\prod}} (x_i)^2 = \tan{\alpha} &\Rightarrow& \tan{\alpha } > 0 &\therefore& \alpha > 0 \end{matrix}Como resultado, constata-se:\begin{matrix} \alpha \in \left] 0 , \dfrac{\pi}{3}\right[ &\tiny{\blacksquare} \end{matrix}