$• \ \text{Resolução I:}$ $\color{#3368b8}{\text{Soma de Arcos}}$ Utilizando dos conhecimentos de arco-duplo e arco-triplo, pode-se escrever:\begin{matrix} \cos{3x} + 2(2\cos^2{3x} - 1) + (4\cos^3{3x} - 3\cos{3x}) = 0 \end{matrix}\begin{matrix}2\cos^3{3x} + 2\cos^2{3x} - \cos{3x} -1 = 0 \end{matrix}Por inspeção ou o teorema das raízes racionais, facilmente encontramos $\cos{3x} =-1$ como uma raiz da equação acima. Nesse sentido, aplicando o algoritmo de Briot-Ruffini:\begin{array}{c|cccc} -1 & 2 & 2 & -1 & -1 \\ \hline & 2 & 0 & -1 & 0 \end{array}Então,\begin{matrix} (\cos{3x} + 1)(\cos^2{3x} - 1) = 0 \end{matrix}Nota-se então três raízes:\begin{matrix} \cos{3x} = -1 &,& \cos{3x} = \pm\dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{matrix}Em virtude do círculo trigonométrico, podemos encontrar todos os valores de $x$ conforme resultado acima:\begin{matrix} x_1 = \dfrac{\pi}{3} &,& x_2 = \dfrac{\pi}{12} &,& x_3 = \dfrac{\pi}{4} &,& x_4 = \dfrac{5\pi}{12} \end{matrix}Portanto a soma de todas as soluções:\begin{matrix} x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = \dfrac{13\pi}{12} & \tiny{\blacksquare} \end{matrix} $• \ \text{Resolução II:}$ $\color{#3368b8}{\text{Fórmulas de Werner}}$ Com conhecimento das fórmulas de Werner, é possível escrever:\begin{matrix}(\cos{3x} + \cos{9x} ) + 2\cos{6x} = 0 \end{matrix}Isto é,\begin{matrix} 2\cos{\left(\dfrac{9x + 3x}{2} \right)}\cos{\left(\dfrac{9x - 3x}{2} \right)} + 2\cos{6x} = 0 \end{matrix}Então,\begin{matrix} \cos{6x}(\cos{3x} + 1) = 0 \end{matrix}Com isso,\begin{matrix} \cos{6x} = 0 &,& \cos{3x} = -1 \end{matrix}Novamente, analisando o círculo trigonométrico, encontramos os mesmos resultados anteriores, veja:\begin{matrix} 0\le 3x \le 3\pi/2 &\rightarrow& 3x_1 = \pi \end{matrix}Analogamente,\begin{matrix} 0\le 6x \le 3\pi &\rightarrow& \begin{cases} 6x_2 = \pi/2 \\ 6x_3 = 3\pi/2 \\ 6x_4 = 5\pi/2 \end{cases}\end{matrix}Como resultado,\begin{matrix} x_1 = \dfrac{\pi}{3} &,& x_2 = \dfrac{\pi}{12} &,& x_3 = \dfrac{\pi}{4} &,& x_4 = \dfrac{5\pi}{12} \end{matrix}\begin{matrix}Letra \ (E) \end{matrix}