Duas cargas pontuais $+q$ e $–q$, de massas iguais $m$, encontram-se inicialmente na origem de um sistema cartesiano $xy$ e caem devido ao próprio peso a partir do repouso, bem como devido à ação de um campo elétrico horizontal e uniforme $\overrightarrow{E}$, conforme mostra a figura.

Por simplicidade, despreze a força coulombiana atrativa entre as cargas e determine o trabalho realizado pela força peso sobre as cargas ao se encontrarem separadas entre si por uma distância horizontal $d$.

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ITA IIIT 02/02/2022 21:50
$• \ \text{Resolução I: Cinemática} $ $-$ A priori, não é difícil perceber que temos movimento acelerado nos dois eixos, no eixo $x$ divido a força elétrica, já no eixo $y$ por conta da força peso. Dessa forma, podemos escrever o trabalho da força peso de uma das cargas como: \begin{matrix} W_P = m.g.\Delta y \end{matrix} $-$ Atente que, as forças são idênticas em módulo, isto é, a trajetória de cada partícula será a mesma. Além disso, devemos expressar o trabalho em função das informações fornecidas no enunciado, assim, necessita-se encontrar um $\Delta y$ adequado. Com isso, podemos analisar cinematicamente uma partícula em cada eixo, comecemos pelo eixo $y$: \begin{matrix} \Delta y = v_{0y}.t + g \ . \large{\frac{\Delta t^2}{2}} &\Rightarrow & \Delta y = g \ .\large{\frac{\Delta t^2}{2}} \end{matrix} $\color{orangered}{Obs:}$ $ v_{0y} = 0$ , pois parte do repouso. $-$ Agora, ao analisar o eixo $x$: \begin{matrix} \frac{d}{2} = v_{0x}.t + a_x \ . \large{\frac{\Delta t^2}{2}} &\Rightarrow & d = a_x .\Delta t^2 \end{matrix} $\color{orangered}{Obs:}$ $ v_{0x} = 0$ , pois parte do repouso. Além de que, cada partícula move-se metade da distância que as separam. • $a_x$ \begin{matrix} F_r = F_{ele} &\Rightarrow & m.a_x = E.q &\Rightarrow & \fbox{$a_x = \large{\frac{E.q}{m}}$} \end{matrix} Concluindo, \begin{matrix} \fbox{$\Delta t^2 = \large{\frac{d.m}{E.q}}$} \end{matrix} $-$ Com nossos resultados retirados da análise do eixo $x$, já podemos definir $\Delta y$ adequadamente. \begin{matrix} \fbox{$\Delta y = \large{\frac{m.g.d}{2.E.q}}$} \end{matrix} $-$ Substituindo $\Delta y$ na expressão do trabalho, e não esquecendo o fato de querermos todo o trabalho realizado pela força peso, isto é, $\text{ o trabalho da força peso realizado nas duas cargas}$, temos: \begin{matrix} W_T = 2W_P &\Rightarrow &\fbox{$W_T= \large{\frac{m^2.g^2.d}{E.q}}$} \end{matrix} $• \ \text{Resolução II: Semelhança}$ $-$ Uma outra saída para a questão seria analisar a resultante das forças em cada partícula, perceba que, a trajetória de ambas seria uma diagonal com sentido positivo ao eixo $y$ da imagem. Por conseguinte, pode-se perceber que em cada partícula, a distância horizontal percorrida $(\frac{d}{2})$, a distância vertical percorrida $(\Delta y)$, e a trajetória percorrida, formam um triângulo retângulo. Destarte, façamos uma semelhança entre o triângulo formado pelas trajetórias, e aquele formado pelos vetores das forças: \begin{matrix} \Large {\frac{P}{F_{ele}} = \frac{\Delta y}{\frac{d}{2}}} &\Rightarrow & \fbox{$\Delta y = \large{\frac{m.g.d}{2.E.q}}$} \end{matrix} $-$ Portanto, segue análoga a ideia da resolução I.
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