O enunciado já informa a expressão da quantização dos raios das órbitas, assim, para o nível $n$, têm-se: \begin{matrix} r_n = n^2 \cdot a_0 &,& a_0: \text{raio fundamental} \end{matrix}Com isso, sabido que a interação coulombiana entre o núcleo e o elétron acarreta um movimento próximo do circular uniforme, pode-se escrever que: \begin{matrix} R_{cp} = F_{e} &\Rightarrow& m\cdot {\omega}^2 \cdot r_n = {{\dfrac{K \cdot e^2}{(r_n)^2}}} &,& K = {{\dfrac{1}{4\pi \cdot \varepsilon_0}}} \end{matrix}Continuando, \begin{matrix} {\omega}^2 = {{\dfrac{1}{4\pi \cdot \varepsilon_0}}} \cdot {{\dfrac{e^2}{m \cdot (r_n)^3}}} &,& \omega = {{\dfrac{2\pi}{T}}} &\Rightarrow& T^2 = {{\dfrac{4^2\pi^3 \cdot \varepsilon_0 \cdot m \cdot (n^2a_0)^3}{e^2}}} &\therefore& T = {{\dfrac{4\pi \cdot a_0 \cdot n^3 \sqrt{\pi \varepsilon_0 m a_0}}{e}}} & \tiny{\blacksquare} \end{matrix}\begin{matrix}Letra \ (D) \end{matrix}

Note que a força elétrica $F_{e}$ atuante no elétron devido a interação com o próton age como resultante centrífuga , logo , podemos escrever que : $F_{e} = \dfrac{mv^2}{r} = \dfrac{|+e|\cdot|-e|}{4\pi \varepsilon_{0} \cdot r^2} \implies v^2 = \dfrac{e^2}{4\pi \varepsilon_{0} \cdot r \cdot m}$ $ = (\omega \cdot r)^2 = \dfrac{e^2}{4\pi \varepsilon_{0} \cdot r \cdot m} \implies \omega^2 = \dfrac{e^2}{4\pi \varepsilon_{0} \cdot r^3 \cdot m}$ $= \omega^2 = \dfrac{e^2}{4\pi \varepsilon_{0} \cdot a_{0}^3 \cdot n^6 \cdot m}$ $\implies \omega = \dfrac{e}{2 \cdot n^3 \cdot a_{0} \cdot \sqrt{(\pi \varepsilon_{0} \cdot a_{0} \cdot m)} } $ sabe-se que $T = \dfrac{2\pi}{\omega}$ $\therefore$ $T = \dfrac{2\pi}{\omega} = T =2\pi \cdot \dfrac{2 \cdot n^3 \cdot a_{0} \cdot \sqrt{(\pi \varepsilon_{0} \cdot a_{0} \cdot m)}}{e}$ $= \boxed{T = \dfrac{4\pi a_{0} n^3 \sqrt{\pi \varepsilon_{0} m a_{0} }}{e}}$ $\textbf{Resposta : Alternativa D}$