A princípio, pensando numa solução racional para expressão, têm-se de forma direta:\begin{matrix} e^x = 4 &\wedge& e^y = 2 \end{matrix}O que felizmente nos leva ao gabarito. Por outro lado, pensando numa resolução, pode-se começar por racionalizar a expressão como:\begin{matrix} \dfrac{e^x - 2\sqrt{5}}{4 - e^y\sqrt{5}} \cdot {\color{#3368b8}{\dfrac{4 + e^y\sqrt{5}}{4 + e^y\sqrt{5}}}} = \dfrac{4e^x + \sqrt{5}(e^{x+y} - 8) - 10e^y}{4^2 - 5e^{2y}} \end{matrix}Visto que a expressão é racional, têm-se:\begin{matrix} \text{(1)}: & \dfrac{4e^x - 10e^y}{4^2 - 5e^{2y}} \in \mathbb{Q} &,& \text{(2)}: & \dfrac{\sqrt{5}(e^{x+y} - 8) }{4^2 -5e^{2y}} \in \mathbb{Q} \end{matrix}Sabe-se conforme enunciado que $e^y$ e $e^x$ são racionais, o que nos garante que o denominador $4^2 -5e^{2y}$ é racional, assim como $\text{(1)}$ é racional. Analogamente, $e^{x+y} - 8$ deve ser racional, então para que o quociente de $\text{(2)}$ seja racional, necessariamente, deve-se ter:\begin{matrix} e^{x+y} - 8 = 0 \end{matrix}Aplicando o logaritmo natural,\begin{matrix} \ln{e^{x+y}} = \ln{8} \end{matrix}Com conhecimento das propriedades do logaritmo,\begin{matrix} (x+y)\ln{e} = 3\ln{2} \end{matrix}Portanto,\begin{matrix} (x+y) = 3\log_e{2} \end{matrix}\begin{matrix}Letra \ (E) \end{matrix}