Pensando inicialmente no polinômio, podemos escrevê-lo como:\begin{matrix} Q(z) = ( z^3 + z^2 + z + 1)(a-z)(b-z) &,& a,b \in \mathbb{C} \end{matrix}Conforme $Q(0)$ e $Q(1)$:\begin{matrix}\begin{cases} Q(0): & \ a\cdot b \ = 2 \\ Q(1): &a+b = 1 \end{cases} \end{matrix}Isolando $a$ ou $b$, devemos encontrar:\begin{matrix} a^2 -a +2 = 0 &\overset{\Delta \ = \ -7}{\Rightarrow}& a = \dfrac{1 \pm i\sqrt{7}}{2} \end{matrix}Desse modo, já encontramos duas raízes, são elas:\begin{matrix}\boxed{ z_1 = \dfrac{1 + i\sqrt{7}}{2} }&,& \boxed{z_2 = \dfrac{1 - i\sqrt{7}}{2}} \end{matrix}Continuando, para as raízes restantes, devemos olhar para: \begin{matrix} z^3 + z^2 + z + 1 \end{matrix}Por inspeção, facilmente constatamos $-1$ como raiz, assim como é possível aplicar o algoritmo de Briot-Ruffini:\begin{array}{c|cccc} -1 & 1 &1 & 1 &1 \\ \hline & 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}Logo,\begin{matrix} z^2 + 1= 0 &\therefore& z = \pm i \end{matrix}Com isso, encontramos todas as raízes, sendo as novas três:\begin{matrix} \boxed{z_3 = -1} &,& \boxed{z_4 = i} &,& \boxed{z_5 = -i} \end{matrix}Portanto, para soma solicitada: \begin{matrix} |z_1|^2 + |z_2|^2 + |z_3|^2 + |z_4|^2 + |z_5|^2 = 7 &\tiny{\blacksquare} \end{matrix}$\color{orangered}{\text{Obs:}}$ $|z|^2 = z \cdot \bar{z}$