Seja $A$ um conjunto com $14$ elementos e $B$ um subconjunto de $A$ com $6$ elementos. O número de subconjuntos de $A$ com um número de elementos menor ou igual a $6$ e disjuntos de $B$ é


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ITA IIIT 22/11/2021 20:44
$-$ Segundo enunciado, podemos escrever: \begin{matrix} B \subset A \\ \\ \#A = 14 \ \ , \ \ \#B = 6 \\ \\ \#(A - B) = \#(A) - \#(A\cap B) \\ \\ \#(A - B) = 14 - 6 = 8\end{matrix} Assim, podemos perceber que temos $8$ elementos disjuntos de $B$. Pelo comando da questão, não deve haver subconjuntos com mais de $6$ elementos, com conhecimento do $Teorema \ das \ Linhas$, o número total de subconjuntos é dado por:\begin{matrix}C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + ... + C_{n}^{n} = 2^n \\ \\ C_{8}^{0}+C_{8}^{1}+...+C_{8}^{8}= 2^8\end{matrix}Note que, esses são todos os subconjuntos que podemos fazer com $8$ elementos, logo, devemos excluir os subconjuntos com $7$ e $8$ elementos, são eles; $C_{8}^{7}$ e $C_{8}^{8}$, respectivamente.\begin{matrix}2^8 - (C_{8}^{7}+ C_{8}^{8}) \\ \\ 2^8 - 9 \\ \\ Letra \ (A) \end{matrix} $\color{orangered}{Obs:}$ Pensando de outra forma: Para escolhermos um elemento do conjunto, deve-se olhar para ele e escolher entre: $selecionar$ ou $não \ selecionar$. Dito isso, o número total de subconjuntos é dado por: \begin{matrix} 2 \cdot ... \cdot 2 = 2^8 \end{matrix} Note que, ainda precisamos excluir os subconjuntos de $7$ e $8$ elementos, comecemos por $7$; devemos escolher $7$ dos $8$ elementos, pode-se fazer isso de $C_{8}^{7}$ formas. Vale ressaltar que, os subconjuntos já estão definidos nos dois casos, pois precisamos ter $7 \ "selecionar"$ e $1"não \ selecionar"$, por isso, basta encontar todas as formas de selecionar os $7$ elementos. Analogamente, queremos escolher $8$ elementos dos $8$ elementos, podemos fazer isso de $C_{8}^{8}$ maneiras. Assim, o resultado segue: \begin{matrix}2^8 - (C_{8}^{7}+ C_{8}^{8}) \\ \\ 2^8 - 9 \end{matrix}
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