É possível chamar $z = a + bi$ e fazer conta até chegar num resultado plausível. No entanto, isso pode custar muito tempo, por isso, recomendo olhar para a expressão $\dfrac{\bar{z}}{z - 2i} + \dfrac{2z}{\bar{z} + 2i}$ e notar que se chamarmos a segunda fração de $w$, a primeira será o conjugado de $w$. Então, veja que $$\bar{w} + 2w = 3 \Rightarrow a = 1 \ \wedge \ b = 0,\text{ sendo }w = a + bi.$$ Com isso, considerando $z = x+yi$, teremos: $$\dfrac{z}{\bar{z} + 2i} = 3 \ \Rightarrow y = 1.$$ Então, utilizando que $0 < |z - 2i| \leq 1$, é possível ver que $x = 0$, logo $A = \{i\}$.