Considere a equação: Sendo um número real, a soma dos quadrados das soluções dessa equação é
CossenoGPT
Teste
gratuitamente agora
mesmo! 

Trabalhando a equação:\begin{matrix}
2^4 \left( \dfrac{1-ix}{1+ix}\right)^3 = \left( \dfrac{(1+i)^2 + (1-i)^2}{(1+i)(1-i)}\right)^4 = (2i)^4 = 2^4\\ \\
\end{matrix}Com isso,\begin{matrix} (\underbrace{1-ix}_{a})^3 = (\underbrace{1+ ix}_{b})^3
\end{matrix}Lembre-se que:\begin{matrix}
b^3 - a^3 = (b-a)(b^2 + ab +b^2)
\end{matrix}Então,\begin{matrix}
(1+ix)^3 - (1-ix)^3 = (2ix)[ (1+ix)^2 + (1+ix)(1-ix) + (1-ix)^2]
\end{matrix}\begin{matrix}
(1+ix)^3 - (1-ix)^3 = (2ix)(3 - x^2)
\end{matrix}Portanto,\begin{matrix}
(2ix)(3 - x^2) = 0
\end{matrix}Nota-se então três raízes:\begin{matrix}x_1 = 0 &,& x_2 = \sqrt{3} &,& x_3 = -\sqrt{3}
\end{matrix}Por fim, a soma:\begin{matrix}
(x_1)^2 + (x_2)^2 + (x_3)^2 = 6 & \tiny{\blacksquare}
\end{matrix}\begin{matrix}Letra \ (B)
\end{matrix}
Outra forma de resolver é pensar na forma polar dos complexos. A partir de uma análise inicial da parte à direita da equação, chegamos a:
$$ (\frac{z}{\bar z})^3 = 1 $$
Assim,
$$ z^3 = \bar z^3 $$
Desenvolvendo com a primeira fórmula de Moivre:
$$|z|^3 (cos3\theta + i.sen3\theta) = |z|^3(cos3\theta - i.sen3\theta)$$
Desenvolvendo, chegamos a
$$2.i.sen3\theta = 0$$
Ou seja, $$sen3\theta = 0$$
Com isso, $$ \theta = [0,\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}]$$
Inserindo esses argumentos no plano de Argand-Gauss, chegamos à conclusão de que x pode assumir os seguintes valores:
$$ x = [0, \sqrt{3}, -\sqrt{3}]$$
$$OBS: \ Considerando \ Re(z) = 1$$
Somando os quadrados das raízes, chegamos a 6.