Considere a equação: Sendo um número real, a soma dos quadrados das soluções dessa equação é


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ITA IIIT 14/10/2022, 18:13
Trabalhando a equação:\begin{matrix} 2^4 \left( \dfrac{1-ix}{1+ix}\right)^3 = \left( \dfrac{(1+i)^2 + (1-i)^2}{(1+i)(1-i)}\right)^4 = (2i)^4 = 2^4\\ \\ \end{matrix}Com isso,\begin{matrix} (\underbrace{1-ix}_{a})^3 = (\underbrace{1+ ix}_{b})^3 \end{matrix}Lembre-se que:\begin{matrix} b^3 - a^3 = (b-a)(b^2 + ab +b^2) \end{matrix}Então,\begin{matrix} (1+ix)^3 - (1-ix)^3 = (2ix)[ (1+ix)^2 + (1+ix)(1-ix) + (1-ix)^2] \end{matrix}\begin{matrix} (1+ix)^3 - (1-ix)^3 = (2ix)(3 - x^2) \end{matrix}Portanto,\begin{matrix} (2ix)(3 - x^2) = 0 \end{matrix}Nota-se então três raízes:\begin{matrix}x_1 = 0 &,& x_2 = \sqrt{3} &,& x_3 = -\sqrt{3} \end{matrix}Por fim, a soma:\begin{matrix} (x_1)^2 + (x_2)^2 + (x_3)^2 = 6 & \tiny{\blacksquare} \end{matrix}\begin{matrix}Letra \ (B) \end{matrix}
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Thales Meier 17/09/2023, 19:05
Outra forma de resolver é pensar na forma polar dos complexos. A partir de uma análise inicial da parte à direita da equação, chegamos a: $$ (\frac{z}{\bar z})^3 = 1 $$ Assim, $$ z^3 = \bar z^3 $$ Desenvolvendo com a primeira fórmula de Moivre: $$|z|^3 (cos3\theta + i.sen3\theta) = |z|^3(cos3\theta - i.sen3\theta)$$ Desenvolvendo, chegamos a $$2.i.sen3\theta = 0$$ Ou seja, $$sen3\theta = 0$$ Com isso, $$ \theta = [0,\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}]$$ Inserindo esses argumentos no plano de Argand-Gauss, chegamos à conclusão de que x pode assumir os seguintes valores: $$ x = [0, \sqrt{3}, -\sqrt{3}]$$ $$OBS: \ Considerando \ Re(z) = 1$$ Somando os quadrados das raízes, chegamos a 6.
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