Uma partícula de massa $m$ carregada com carga $q \gt 0$ encontra-se inicialmente em repouso imersa num campo gravitacional e num campo magnético $B_0$ com sentido negativo em relação ao eixo $Oz$, conforme indicado na figura. Sabemos que a velocidade e a aceleração da partícula na direção $Oy$ são funções harmônicas simples. Disso resulta uma trajetória cicloidal num plano perpendicular à $B_0$ . Determine o deslocamento máximo ($L$) da partícula.

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ITA IIIT 01/02/2022 21:48
$-$ Segundo enunciado, e ao analisar a figura, pode-se dizer que os pontos de aceleração máxima do MHS são quando $y = 0$ e $y=L$, assim, podemos escrever: \begin{matrix} a_0 =a_L \ \color{royalblue}{(1)} \end{matrix} $-$ Veja que, a partícula parte do repouso $(v_0 = 0)$, isto é, atua-se apenas a força peso em $y=0$, pois a força magnética é nula. \begin{matrix} F_0 = P &\Rightarrow& \fbox{$a_0 = g$} \end{matrix} $-$ Agora, em $y=L$, pode-se notar que a força magnética é máxima, então temos: \begin{matrix} F_L = F_M - P &\Rightarrow& \fbox{$a_L = \frac{B.q.v}{m} - g$} \end{matrix} $-$ Aplicando o $\text{Teorema do Trabalho Total}$ para encontra a velocidade em $y=L$: \begin{matrix} W_T = \Delta E_c &\Rightarrow& W_M + W_P = \large{\frac{m.v^2}{2} - \frac{m.v^2_0}{2}} \end{matrix} $\color{orangered}{Obs:}$ É sabido que, a força magnética não realiza trabalho nesses casos (em uma partícula eletricamente carregada em movimento). \begin{matrix} W_P = \large{\frac{m.v^2}{2} } &\Rightarrow& m.g.L = \large{\frac{m.v^2}{2} } &\Rightarrow& \fbox{$v = \sqrt{2gL}$} \end{matrix} $-$ Por fim, substituindo nossos resultados em $(1)$: \begin{matrix} g =\frac{B.q.v}{m} - g &\Rightarrow& 2mg = B.q. \sqrt{2gL} &\Rightarrow& \fbox{$ L = \Large{\frac{2m^2.g}{q^2.B_0^2}}$} \end{matrix}
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