Determine o coeficiente de $x^4$ no desenvolvimento de $(1 + x + x^2)^9$.

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ITA IIIT 22/11/2021 15:24
Com conhecimento do $\text{Polinômio de Leibniz:}$ \begin{matrix} (x_1 +...+ x_p)^n = \sum \dfrac{n!}{\alpha_1! \cdot ... \cdot \alpha_p!}. x_1^{\alpha_1}\cdot ... \cdot x_p^{ \alpha_p} \ \ , \ \ \alpha_1+...+\alpha_p = n \ \ | \ \ \alpha_i \in \mathbb{N} \ , \ i = 1,2,..,p \end{matrix}Coeficiente de $x^4$ em $(1+x+x^2)^9$: \begin{matrix} \sum \dfrac{9!}{\alpha_1! \alpha_2!\alpha_3!}. 1^{\alpha_1}x^{\alpha_2}x^{2.\alpha_3} \ \ , \ \ \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3 = 9 \\ \\ \\ \sum \dfrac{9!}{\alpha_1! .\alpha_2!.\alpha_3!}. 1^{\alpha_1}x^{\alpha_2 + 2\alpha_3}\ \ ,\ \ \alpha_2+2\alpha_3 = 4 \end{matrix} Perceba que, os únicos números naturais que satisfazem o sistema, são: \begin{matrix} \alpha_1 = 6 \ \ \ \ , \ \ \ \ \alpha_2= 2 \ \ \ \ , \ \ \ \ \alpha_3 = 1 \\ \\ \alpha_1 = 7 \ \ \ \ , \ \ \ \ \alpha_2= 0 \ \ \ \ , \ \ \ \ \alpha_3 = 2 \\ \\ \alpha_1 = 5 \ \ \ \ , \ \ \ \ \alpha_2= 4 \ \ \ \ , \ \ \ \ \alpha_3 = 0 \end{matrix}Agora é só calcular: \begin{matrix} {{\dfrac{9!}{6! 2!1!}}} 1^{6}x^{4} &+& { { \dfrac{9!}{7!0!2!}}} 1^{7}x^{4} &+&{{\dfrac{9!}{5! 4!0!}}} 1^{5}x^{4} &=& 414x^4 \end{matrix}
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