$• \ \text{Solução I:}$ A princípio, façamos:\begin{matrix} |f(x)| = |x| &\Rightarrow& f(x) = \pm x \end{matrix}Para $f(x) = -x$, temos:\begin{matrix} \overline{f(1)} f(z) + f(1) \overline{f(z)} \ = \ (-1)(-z) + (-1)(-\bar{z}) \ = \ z + \bar{z} \ = \ 2\ \text{Re(z)} \end{matrix}Já para $f(x) = x$:\begin{matrix} \overline{f(1)} f(z) + f(1) \overline{f(z)} \ =\ (1)(z) + (1)(\bar{z}) \ =\ z + \bar{z} \ = \ 2\ \text{Re(z)} \end{matrix}Portanto,\begin{matrix} \boxed{\overline{f(1)} f(z) + f(1) \overline{f(z)} = 2\ \text{Re(z)}} \end{matrix} $• \ \text{Solução II:}$ Pensando na forma polar de um complexo: \begin{matrix}z = |z|(\cos{\theta} + i\sin{\theta} ) \\ \bar{z} = |z|(\cos{\theta} - i\sin{\theta} ) \end{matrix}Analisando a primeira expressão do enunciado, podemos escrever:\begin{matrix} \dfrac{|f(z)|}{|z|} = \left|\dfrac{f(z)}{z} \right| = 1 \end{matrix}Então,\begin{matrix} \dfrac{f(z)}{z} = \cos{\theta} + i\sin{\theta} \end{matrix}Substituindo na expressão solicitada:\begin{matrix} \overline{f(1)} f(z) + f(1) \overline{f(z)} \\ (\cos{\theta} - i\sin{\theta})z(\cos{\theta} + i\sin{\theta}) + (\cos{\theta} + i\sin{\theta})\bar{z}(\cos{\theta} - i\sin{\theta}) \\ (z+ \bar{z})(\cos{\theta} + i\sin{\theta})(\cos{\theta} - i\sin{\theta}) \\ (z+ \bar{z})(\cos^2{\theta} + \sin^2{\theta}) \\ z+ \bar{z} \end{matrix}\begin{matrix}Letra \ (C) \end{matrix}