Considere a equação $(a^x - a^{-x})/(a^x + a^{-x}) = m$, na variável real $x$, com $0 < a \ne 1$. O conjunto de todos os valores de $m$ para os quais esta equação admite solução real é


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ITA IIIT 28/10/2021 19:22
• Do enunciado, temos: \begin{matrix} \frac{a^x - a^{-x}}{a^x + a^{-x}} = m \\ \\ \frac{a^{2x}-1}{a^{2x}+1} = m \end{matrix} • Isolando o $a^{2x}$: \begin{matrix} a^{2x} = \frac{1+m}{1-m} \end{matrix} Note que $a^{2x}>0$, então: \begin{matrix} \frac{1+m}{1-m} > 0 \\ \\ (1+m).(1-m) > 0 \end{matrix} Repare que, se: \begin{matrix} m>1 \Rightarrow (1+m).(1-m) < 0 \ (Absurdo!) \\ \\ m<-1 \Rightarrow (1+m).(1-m) < 0 \ (Absurdo!) \end{matrix} Logo: \begin{matrix} -1 <m < 1 \\ \\ m \ \in \ (-1,1) \\ \\ Letra \ (C) \end{matrix}
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