Obtenha todos os pares $(x, y)$, com $x, y \in [0, 2\pi]$, tais que $$\sin (x + y) + \sin (x − y) = \frac{1}{2}$$$$\sin x + \cos y = 1$$

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ITA IIIT 01/05/2022 22:50
Segundo o enunciado, pela primeira relação, têm-se: \begin{matrix} \sin{x}\cos{y} + \sin{y}\cos{x} + \sin{x}\cos{y} - \sin{y}\cos{x} = {\dfrac{1}{2}} \\ \\ 4 \sin{x}\cos{y} = 1 \ \ \color{royalblue}{(1)} \end{matrix}Isolando $\cos{y}$ na segunda relação do enunciado, e substituindo em $(1)$: \begin{matrix} 4 (1-\cos{y})\cos{y} = 1 &\Rightarrow& 4\cos^2{y} - 4\cos{y} + 1 = 0 &\therefore& \cos{y} = \dfrac{1}{2} \end{matrix}Com isso, \begin{matrix} y = \bigg\{ \dfrac{\pi}{3} \ , \ \dfrac{5\pi}{3} \bigg\} \end{matrix}Analogamente, para $\sin{x}$, temos: \begin{matrix} 4 \sin{x} (1-\sin{x})= 1 &\Rightarrow& 4\sin^2{x} - 4\sin{x} + 1 = 0 &\therefore& \sin{x} = \dfrac{1}{2} \end{matrix}Com isso, \begin{matrix} x = \bigg\{ \dfrac{\pi}{6} \ , \ \dfrac{5\pi}{6} \bigg\} \end{matrix}Por fim, todos os pares ordenados $(x,y)$:\begin{matrix}(x,y) = \bigg\{ \ \left(\dfrac{\pi}{6} , \dfrac{\pi}{3} \right) \ , \ \left(\dfrac{\pi}{6} , \dfrac{5\pi}{3} \right) \ , \ \left(\dfrac{5\pi}{6} , \dfrac{\pi}{3} \right) \ , \ \left(\dfrac{5\pi}{6} , \dfrac{5\pi}{3} \right) \ \bigg\} & \tiny{\blacksquare} \end{matrix}
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