Segundo enunciado, podemos escrever:\begin{matrix} p(x) = (ax^2 -2bx + c + 1)^5 \end{matrix}Nesse sentido, visando a soma dos coeficientes, temos $p(1)$, isto é:\begin{matrix} p(1) = (a-2b+c+1)^5 = 2^5 \\ \\ a-2b+c = 1 \ \ \color{#3368b8}{\text{(I)}} \end{matrix}Por outro lado, para as raízes:\begin{matrix}p(0) &=& (c + 1)^5 &=& 0 &\Rightarrow& c = -1 & \color{#3368b8}{\text{(II)}} \\ p(-1) &=& (a + 2b + c + 1)^5 &=& 0 &\Rightarrow& a + 2b + c = -1 & \color{#3368b8}{\text{(III)}} \end{matrix}Substituindo $\text{(II)}$ em $\text{(I)}$ e $\text{(III)}$ , podemos escrever um sistema de equações em que:\begin{matrix}\begin{cases} a -2b = 2 \\ a+2b = 0 \end{cases} &\Rightarrow& a = 1 &\wedge& b = -\dfrac{1}{2} \end{matrix}Portanto,\begin{matrix} a+ b +c = -\dfrac{1}{2} \end{matrix}\begin{matrix}Letra \ (A) \end{matrix}