São dados dois cartões, sendo que um deles tem ambos os lados na cor vermelha, enquanto o outro tem um lado na cor vermelha e o outro lado na cor azul. Um dos cartões é escolhido ao acaso e colocado sobre uma mesa. Se a cor exposta é vermelha, calcule a probabilidade de o cartão escolhido ter a outra cor também vermelha.

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ITA IIIT 22/11/2021 13:47
$-$ O Problema trata de probabilidade condicional, podemos escrever que: \begin{matrix} P(A | B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} \end{matrix} Lê-se $P(A | B) $ como: Probabilidade de $A$ dado $B$ Perceba que, a questão é um belo exemplo, pois queremos um cartão vermelho com o verso de outra cor vermelha, dado que o primeiro cartão retirado tenha face vermelha. Veja que: $B$ é o conjunto de todos os cartões com ao menos um lado vermelho, assim, $P(B)$ são todas possibilidades de escolher um cartão e ele sair com a face vermelha. Por outro lado: $A$ é o conjunto de todos os cartões que tem um lado vermelho e o verso também vermelho, assim, $P(A\cap B)$ é a probabilidade de tirar um cartão de dois lados vermelhos. • Analisando $P(B)$: \begin{matrix} {\large{\frac{1}{2}}} \cdot 1 &+& {\large{\frac{1}{2}}}\cdot {\large{\frac{1}{2}}} &=& \large{\frac{3}{4}} \end{matrix}Veja que, $\frac{1}{2}$ é a chance de tirar um cartão entre os dois possíveis, ao tirar um cartão com dois lados vermelhos temos 100% $(1)$ de chance dele ter a face vermelha, já ao tirar um cartão com dois lados diferentes a chance da face ser vermelha é $50\%$ $(\frac{1}{2})$. • Analisando $P(A\cap B)$: ${\large{\frac{3}{4}}} \cdot {\large{\frac{2}{3}}} = {\large{\frac{1}{2}}}$ A probabilidade de a primeira face ser vermelha é $\frac{3}{4}$, já na segunda face é: $\frac{2}{3}$ Atente ao fato da segunda face, pois ela pode ser: $\text{Vermelha (1)}$, $\text{Vermelha (2)}$ ou $\text{Azul}$, como queremos que ela seja vermelha, temos $2$ elementos favoráveis. $\text{Vermelha (1)}$: Uma das faces do cartão de duas cores vermelhas $\text{Vermelha (2)}$: Outra face do cartão de duas cores vermelhas $-$ Por fim: \begin{matrix} P(A | B) = {\Large{\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}}}} = {\large{ \frac{2}{3}}} \end{matrix} $\color{orangered}{Obs:}$ Outra forma rápida de pensar $\text{Faces do cartão (1)}$: Vermelho ($V_x$) - Vermelho ($V_y$) $\text{Faces do cartão (2)}$: Vermelho ($V_z$) - Azul ($A$) $W$: Espaço Amostral = $\big\{ V_x,V_y,V_z \big\}$ $X$: Conjunto favorável = $\big\{ V_x,V_y \big\}$ \begin{matrix} P(X) = \frac{\#X}{\#W} = {\large{\frac{2}{3}}} \end{matrix}
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