O conjunto de todos os valores de $\alpha$, $\alpha \in \bigl]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \bigr[$, tais que as soluções da equação (em $x$ ) $$x^4 -\sqrt[4]{48} x^2 + \tan \alpha = 0$$ são todas reais, é


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ITA IIIT 01/05/2022 05:26
$-$ A priori, é notável que a equação do enunciado é uma biquadrada, e esta apresentará todas as raízes reais quando $\Delta \ge 0 $. Nessa perspectiva, analisemos a situação: \begin{matrix} x^4 - 2\sqrt[4]{3} \ x^2 + \tan{\alpha} = 0 &\Rightarrow& \Delta = 4\sqrt{3} - 4\tan{\alpha} \ge 0 &\therefore& \tan{\alpha} \le \sqrt{3} \end{matrix}Perceba que, esta é uma condição, por outro lado, resolvendo a equação biquadrada em $x$, temos: \begin{matrix} x^2 = {\Large{\frac{2\sqrt[4]{3} \ \pm \ 2\sqrt{\sqrt{3} - \tan{\alpha}}}{2}}} \ge 0 &\therefore& \tan{\alpha} \ge 0 \end{matrix} $\color{orangered}{Obs:}$ Atente que, ao invés de analisar delta, você poderia ter analisado apenas $\sqrt{\sqrt{3} - \tan{\alpha}} \ge 0$ Portanto, \begin{matrix} 0 \le \tan{\alpha} \le \sqrt{3} &\Rightarrow& 0 \le {\alpha} \le \frac{\pi}{3} &\therefore& \alpha \in [ \ 0 , \frac{\pi}{3} \ ] \end{matrix} \begin{matrix} Letra \ (D) \end{matrix}
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