Do enunciado, temos: $(2x)^{\log_b{2}} = (3x)^{\log_b{3}}$ , que implica: $$\log_b{2} \cdot \log{(2x)} = \log_b{3} \cdot \log{(3x)}$$Como $\log{b} \neq 0$ , temos que: $\log{2} \cdot \log{(2x)} = \log{3} \cdot \log{(3x)}$. Reescrevamos de outro modo: $\log{2} \cdot (\log{2}+\log{x}) = \log{3} \cdot (\log{3}+\log{x})$, o mesmo que: $\log^2{2} + \log{2}\cdot \log{x} = \log^2{3} + \log{3}\cdot \log{x}$ , isolando o $\log{x}$, encontra-se: $$\log^2{2} - \log^2{3} = (\log{3} - \log{2})\cdot \log{x} \implies \log{x} = \frac{(\log{2} + \log{3})(\log{2} - \log{3})}{(\log{3} - \log{2})}$$ Portanto: $\log{x} = -(\log{3} + \log{2}) = -\log{6}$ $\implies$ $\log{x} = \log{\large{\frac{1}{6}}}$ $\implies$ $\boxed{x = \frac{1}{6}}$