Com conhecimento que $|z|^2 = z\cdot \bar{z}$ , têm-se: \begin{matrix} z \cdot (z^2 + z - \bar{z} + 2) = 0 &\Rightarrow& z = 0 &\vee& z^2 + z - \bar{z} + 2 = 0 \end{matrix}Atente que $z = 0$ não nos interessa, então, denotando $z$ como $(x,y)$, temos: \begin{matrix} (x+yi)^2 + (x+yi) - (x-yi) + 2 = 0 &\Rightarrow& (x^2 -y^2 + 2) + 2i(xy + y) = 0 \end{matrix}Então, \begin{matrix} \begin{cases} x^2 - y^2 +2 &=& 0 \\ \ \ \ y(x+1)&=& 0 \end{cases} &\rightarrow&\begin{cases} \ \ \ \ y = 0 &\Rightarrow& x \notin \mathbb{R} \\ x+1=0&\Rightarrow& y = \pm \sqrt{3} \end{cases} \end{matrix}Com isso, apenas duas soluções nos interessam: \begin{matrix}z_1 = -1 + \sqrt{3} &,& z_2 = -1 - \sqrt{3} \end{matrix}Portanto, somando as raízes, constata-se: \begin{matrix} z_1 + z_2 = -2 & \tiny{\blacksquare} \end{matrix}\begin{matrix}Letra \ (A) \end{matrix}