O termo independente de $x$ no desenvolvimento do binômio $\left(\sqrt{\frac{3\sqrt[3]x}{5x}}-\sqrt[3]{\frac{5x}{3\sqrt x}}\right)^{12}$ é


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ITA IIIT 21/11/2021 18:10
A questão requer o conhecimento do $Termo \ Geral \ do \ Binômio \ de \ Newton$: \begin{matrix} (a+b)^n \Rightarrow T_{k+1} = {n \choose k}. a^{n-k}.b^k \end{matrix}• Arrumando nosso binômio: \begin{matrix} \left[ \ x^{-1/3}\cdot \left(\dfrac{3}{5}\right)^{1/2} \ + \ x^{1/6}\cdot (-1)\cdot \left(\dfrac{5}{3}\right)^{1/3} \ \right]^{12} \end{matrix} • Aplicando o $Termo \ Geral$: \begin{matrix} T_{k+1} = {12 \choose k} \cdot \left[x^{-1/3}\cdot \left(\dfrac{3}{5}\right)^{1/2}\right]^{20-k} \left[x^{1/6}\cdot (-1)\cdot \left(\dfrac{5}{3}\right)^{1/3}\right]^k \\ \\ T_{k+1} = {12 \choose k} \cdot x^{k/2 - 4}\cdot (-1)^k \cdot \left(\dfrac{3}{5}\right)^{6 - 5k/6} \end{matrix}Como queremos o termo independente de $x$, precisamos fazer $x$ ter valor unitário no $Termo \ Geral$, o que não é nada mais que zerar seu expoente.\begin{matrix} \dfrac{k}{2} - 4 = 0 &\therefore&k=8 \end{matrix}Agora é só substituir, arrumar um pouco, e encontrar: \begin{matrix}T_{9} = {12 \choose 9} \cdot \left(\dfrac{3}{5}\right)^{-2/3} &\Rightarrow& T_{9} = 495 \cdot \left(\dfrac{5^2}{3^2}\right)^{1/3} &\Rightarrow& T_{9} =495 \cdot \left(\dfrac{5^2}{3^2}\cdot \color{royalblue}{\dfrac{3}{3}}\right)^{1/3}&\therefore& T_{9} = 165\cdot \sqrt[3]{75} \end{matrix}\begin{matrix}Letra \ (E) \end{matrix}
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