Considere $12$ pontos distintos dispostos no plano, $5$ dos quais estão numa mesma reta. Qualquer outra reta do plano contém, no máximo, $2$ destes pontos. Quantos triângulos podemos formar com os vértices nestes pontos?


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ITA IIIT 21/11/2021 17:02
$-$ Primeiramente, vamos generalizar, se pudessemos usar todos os pontos, quantos triângulos poderiamos ter? Para fazer um triângulo precisamos de três pontos, logo: \begin{matrix} C_{12}^{3} = 220 \ triângulos \end{matrix}Perceba que não temos tudo isso, pois $5$ dos pontos formam uma reta, e estamos contando eles como triângulos. Dessa forma, precisamos subtrair o número de triângulos contados irregularmente nesses $5$ pontos, temos: \begin{matrix} C_{5}^{3} = 10 \ triângulos \end{matrix}Portanto: $C_{12}^{3} - C_{5}^{3} = 210 \ triângulos$ \begin{matrix} Letra \ (A) \end{matrix}
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