Analisando a o somatório, não é difícil dizer que temos uma progressão geométrica de razão $z$, em que podemos escrever: \begin{matrix} \underset{n=1}{\overset{60}{\sum}} z^n &=& \dfrac{z(1 - z^{60})}{1 -z } & \color{royalblue}{(1)} \end{matrix}Agora, pensando no complexo $z$, e com conhecimento da $\text{Primeira Lei de Moivre}$, temos: \begin{matrix} z = \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}i &\Rightarrow& z = \cos{\frac{\pi}{4}} + i\sin{\frac{\pi}{4}} &\overset{\text{cf. Moivre}}{\therefore}& z^{60} = \cos{15\pi} + i\sin{15\pi} \end{matrix}Continuando, \begin{matrix} z^{60} \equiv \cos{\pi} + i\sin{\pi} &\therefore& z^{60} = -1 \end{matrix}Substituindo nossos resultados em $(1)$: \begin{matrix} \underset{n=1}{\overset{60}{\sum}} z^n &=& \dfrac{(\sqrt{2} + i\sqrt{2})}{\dfrac{2 - \sqrt{2} - i\sqrt{2}}{2}} &=& \dfrac{(2\sqrt{2} + 2i\sqrt{2})}{2 - \sqrt{2} - i\sqrt{2}} & \color{royalblue}{(2)} \end{matrix}Atente que queremos o módulo do resultado acima, para isso, podemos pensar em dois números complexos e lembrar de algumas propriedades do módulo. Veja abaixo a propriedade que usaremos: \begin{matrix} \bigg|\dfrac{z_1}{z_2}\bigg| = \dfrac{|z_1|}{|z_2|} &,& z_1 = 2\sqrt{2} + 2i\sqrt{2} &\wedge& z_2 = 2 - \sqrt{2} - i\sqrt{2} \end{matrix}$|z_1|$ e $|z_2|$: \begin{matrix}|z_1| & =& \sqrt{(2\sqrt{2})^2 +(2\sqrt{2})^2} &=& 4 \\ |z_| & =& \sqrt{(2 - \sqrt{2})^2 +(-\sqrt{2})^2} &=& 2\sqrt{2 -\sqrt{2}} \end{matrix}Substituindo no módulo de $(2)$: \begin{matrix} \bigg|\underset{n=1}{\overset{60}{\sum}} z^n \bigg| &=& \dfrac{4}{2\sqrt{2 -\sqrt{2}}} \cdot \color{royalblue}{\dfrac{\sqrt{2 +\sqrt{2}}}{\sqrt{2 +\sqrt{2}}}} &=& \sqrt{4 + 2\sqrt{2}} & \tiny{\blacksquare} \end{matrix}