Tirando o $mmc$ de $17640$, temos: $2^3 \cdot 3^2\cdot 5^1 \cdot 7^2$ Queremos os números divisores de $17640$ que também sejam divididos por $3$, nesse caso, precisamos olhar para os expoentes dos números de $2^3.3^2.5^1.7^2$, pois não queremos saber quais são, mas sim quantos são! Vejamos as possibilidades para os expoentes: \begin{matrix} 2 \rightarrow \big\{ 0,1,2,3 \big\} \\ 3 \rightarrow \big\{ 0,1,2 \big\} \ \ \ \ \\ 5 \rightarrow \big\{ 0,1 \big\} \ \ \ \ \ \ \ \ \\ 7 \rightarrow \big\{ 0,1,2 \big\} \ \ \ \ \end{matrix}Perceba que, para os números serem divisíveis por $3$, o número $3$ não pode apresentar expoente $0$, o que significa termos apenas duas opções para o expoente de $3 \rightarrow \big\{1,2 \big\}$ que caracterizam $2$ possibilidades. Veja que, para os demais números pouco importa o expoente, ele só precisa estar dentro do seu limite, o que significa: \begin{matrix} 2 \rightarrow 4 \ \text{possibilidades} \\ 3 \rightarrow 2 \ \text{possibilidades} \\ 5 \rightarrow 2 \ \text{possibilidades} \\ 7 \rightarrow 3 \ \text{possibilidades} \end{matrix}Assim, pelo princípio fundamental da contagem: \begin{matrix} 4\cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 48 \ \text{números} \\ \\ Letra \ (C) \end{matrix}