$• \ \text{Afirmativa I:}$ $\color{royalblue}{\text{Verdadeira}}$ A afirmativa requer apenas o conhecimento das propriedades do conjugado, basicamente, três delas: \begin{matrix} \overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2} &,& \overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2} &,& \overline{{\Large{(\frac{z_1}{z_2})}}} = {\Large{(\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}})}} \end{matrix}Por $\omega$, têm-se: \begin{matrix} \omega = \dfrac{(2i)(z^2) + 5(\bar{z}) - i }{ 1 +3(\bar{z}^2) +(2i)(z) + 3|z|^2 + 2|z|} \end{matrix}Logo:\begin{matrix} \bar{\omega} = \dfrac{(-2i)(\bar{z}^2) + 5(z) - (-i) }{ 1 +3(z^2) +(-2i)(\bar{z}) + 3|\bar{z}|^2 + 2|z|} \end{matrix} $\color{orangered}{Obs:}$ Observe que $|z|$ é um número real, então $|\bar{z}| = |z|$. $• \ \text{Afirmativa II:}$ $\color{royalblue}{\text{Verdadeira}}$ Com conhecimento das propriedades do módulo nos números complexos, mais precisamente: \begin{matrix} |z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2| &,& |z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2| \end{matrix}Por $\omega$, têm-se: \begin{matrix} \omega = \dfrac{(2i)(z^2) + (3+ 3i) }{(1+2i)(z)} &,& |\omega| = \dfrac{|(2i)(z^2) + (3+ 3i)| }{|(1+2i)|\cdot |(z)|} = \dfrac{|(2i)(z^2) + (3+ 3i)| }{\sqrt{5}\cdot |z|} \end{matrix}Continuando, \begin{matrix} |\omega| \le \dfrac{|(2i)|\cdot |(z^2)| + |(3+ 3i)| }{\sqrt{5}\cdot |z|} = \dfrac{2 \cdot |z^2| + 2\sqrt{3} }{\sqrt{5}\cdot |z|} & \tiny{\blacksquare} \end{matrix} $• \ \text{Afirmativa III:}$ $\color{royalblue}{\text{Verdadeira}}$ Com conhecimento das propriedades do módulo nos números complexos, mais precisamente: \begin{matrix} arg(z_1) + arg(z_2) = arg(z_1z_2) &,& arg(z_1) - arg(z_2) = arg({\large{\frac{z_1}{z_2}}}) \end{matrix}Nessa perspectiva, vamos analisar $\omega$ : \begin{matrix} arg(1+i) &=& \arctan{(1)} &=& \dfrac{\pi}{4} \\ arg(4\sqrt{3} + 4i) &=& \arctan{({\large{\frac{4}{4\sqrt{3}}}})} &=& \dfrac{\pi}{6} \end{matrix}Portanto, \begin{matrix} arg(\omega) &=& arg{\Large{(\frac{(1+i)z^2}{4\sqrt{3}+ 4i})}} &=& arg(1+i) + arg(z^2) - arg(4\sqrt{3} + 4i) \end{matrix}Continuando, \begin{matrix} arg(\omega) &=& 2arg(z) + \dfrac{\pi}{12} & \tiny{\blacksquare} \end{matrix}\begin{matrix}Letra \ (A) \end{matrix}