Seja $k \in R$ tal que a equação $2x^3 + 7x^2 + 4x + k = 0$ possua uma raiz dupla e inteira $x_1$ e uma raiz $x_2$, distinta de $x_1$. Então, $(k + x_1)x_2$ é igual a:


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ITA IIIT 15/03/2022 22:44
$-$ Com conhecimento das $\text{Fórmulas de Viète}$, têm-se: \begin{matrix} (1): &&& 2x_1 + x_2 &=& -7/2 \\ \\ (2): &&& (x_1)^2 + 2(x_1x_2) &=& 2 \\ \\ (3): &&& (x_1)^2 \ . \ x_2 &=& -k/2 \end{matrix} $-$ Isolando $x_2$ em $(1)$ e substituindo em $(2)$, encontramos: \begin{matrix} 3(x_1)^2 + 7x_1 + 2 = 0 &\Rightarrow& \underbrace{x_1 = -1/3}_{\text{Não serve, pois x é inteiro}} \text{ou}& \fbox{$ x_1 =-2$} \end{matrix} Agora, não é difícil encontrar: $\fbox{$x_2 = 1/2$}$ Substituindo nossos resultados acima em $(3)$ para encontrar o valor de $k$: $\fbox{$k = -4$}$ $-$ Por fim, o valor da expressão solicitada pela questão: \begin{matrix} (k +x_1)x_2 = -3 \\ \\ Letra \ (B) \end{matrix}
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