Considere o conjunto $S = {(a, b)\in N \times N : a + b = 18}$. A soma de todos os números da forma $\frac{18!}{a!b!}$ , $\forall (a,b) \in S$, é:


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ITA IIIT 20/11/2021 23:41
$-$ Existem duas formas bem legais de se resolver esse problema, a que mais gosto é pelo $Polinômio \ de \ Leibniz$: \begin{matrix} (x_1 + x_2 +...+x_p)^n = \sum \frac{n!}{(\alpha_1)! \cdot (\alpha_2)! \cdot ... \cdot (\alpha_p)! } \ . \ x_1^{\alpha_1}.x_2^{\alpha_2} \cdot ... \cdot x_p^{\alpha_p}& , & \alpha_1+ \alpha_2 + ... + \alpha_p = n \end{matrix} Note que, com os dados e o comando do problema podemos escrever: \begin{matrix} (1+1)^{18} = \sum \frac{18!}{a!.b!} \ \ , \ \ \ a + b = 18 \\ \\ (2)^{18} = (2^{3})^{6} = 8^6 \\ \\ Letra \ (A) \end{matrix} $-$ Outra forma bem bacana de resolver é conhecendo o $Teorema \ das \ Linhas$, veja que podemos representar $a+b = 18$ de 19 formas distintas, exemplos: \begin{matrix} 0+18 = 1+17=2+17=...=18 \end{matrix} Segundo o comando da questão: \begin{matrix} \frac{18!}{0!.18!} + \frac{18!}{1!.17!} + \frac{18!}{2!.16!} +..+ \frac{18!}{18!.0!} \\ \\ {18 \choose 0} + {18 \choose 1} + {18 \choose 2} +...+ {18 \choose 18} = 2^{18} \end{matrix} • $Teorema \ das \ Linhas:$ \begin{matrix} {n \choose 0} + {n \choose 1} + {n \choose 2} +...+ {n \choose n} = 2^{n} \end{matrix}
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