Considere o conjunto $S = {(a, b)\in N \times N : a + b = 18}$. A soma de todos os números da forma $\frac{18!}{a!b!}$ , $\forall (a,b) \in S$, é:


img
ITA IIIT 20/11/2021 23:41
Existem duas formas diretas de se resolver esse problema, uma delas é pelo $\text{Polinômio de Leibniz}$: \begin{matrix} (x_1 + x_2 +...+x_p)^n = \sum \dfrac{n!}{(\alpha_1)! \cdot (\alpha_2)! \cdot ... \cdot (\alpha_p)! } \ . \ x_1^{\alpha_1}.x_2^{\alpha_2} \cdot ... \cdot x_p^{\alpha_p}& , & \alpha_1+ \alpha_2 + ... + \alpha_p = n \end{matrix}Note que, com os dados e o comando do problema podemos escrever: \begin{matrix} (1+1)^{18} = \sum \dfrac{18!}{a!.b!} \ \ , \ \ \ a + b = 18 \\ \\ (2)^{18} = (2^{3})^{6} = 8^6 \\ \\ Letra \ (A) \end{matrix} $\color{orangered}{\text{Obs:}}$ Outra forma de resolver é conhecendo o $\text{Teorema das Linhas}$, veja que podemos representar $a+b = 18$ de 19 formas distintas, exemplos:\begin{matrix} 0+18 = 1+17=2+17=...=18+0 \end{matrix}Segundo o comando da questão: \begin{matrix} \dfrac{18!}{0!.18!} + \dfrac{18!}{1!.17!} + \dfrac{18!}{2!.16!} +..+ \dfrac{18!}{18!.0!}&\Rightarrow& {18 \choose 0} + {18 \choose 1} + {18 \choose 2} +...+ {18 \choose 18} = 2^{18} \end{matrix} • $\text{Teorema das Linhas:}$ $ {n \choose 0} + {n \choose 1} + {n \choose 2} +...+ {n \choose n} = 2^{n} $
Modo de Edição
0 / 5000
ManualLaTeX