O valor de $y^2 – xz$ para o qual os números $\sin \frac{\pi}{12},  x, y, z$ e $\sin 75^\circ$ , nesta ordem, formam uma progressão aritmética, é:


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ITA IIIT 29/04/2022 22:32
Existe uma saída bem direta para essa questão, no caso, seria descobrir, ou "ter em mãos", algum resultado entre o cosseno (ou seno) de $15^{\circ}$ e $75^{\circ}$. Todavia, esta talvez não seja a melhor forma de resolver a questão, vamos tentar "driblar" essa parte, usaremos apenas os conhecimentos básicos de $PA$ e as $\text{Fórmulas de Werner}$. Nesse viés, temos, segundo enunciado: \begin{matrix} \sin{15^{\circ}} &,& x &,& y &,& z &,& \sin{75^{\circ}} \\ (y - 2r) && (y - r) && y && (y + r) && (y + 2r) \end{matrix}Assim, da expressão que queremos calcular:\begin{matrix} y^2 - xz &=& y^2 - (y-r)(y+r) &\therefore& {y^2 - xz \ = \ r^2} \end{matrix}Veja que, precisamos apenas da constante dessa progressão para encontrarmos o valor solicitado. Adiante, pela relação entre o primeiro e último termo, temos:\begin{matrix}\sin{75^{\circ}} - \sin{15^{\circ}} = 4r &\Rightarrow& 2\sin{ \left(\dfrac{{75^{\circ}} - {15^{\circ}}}{2} \right)}\cos{\left(\dfrac{{75^{\circ}} + {15^{\circ}}}{2}\right)} = 4r &\Rightarrow& \sin{30^{\circ}}\cos{45^{\circ}} = 2r &\therefore&{ r = {\dfrac{\sqrt{2}}{8}}} \end{matrix}Consequentemente, \begin{matrix} y^2 - xz = {{\dfrac{1}{32}}} &\therefore& \fbox{$ y^2 - xz = 2^{-5} $}\end{matrix} \begin{matrix} Letra \ (D) \end{matrix}
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