Sabe-se que uma elipse de equação $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ tangencia internamente a circunferência de equação $x^2 + y^2 = 5$ e que a reta de equação $3x + 2y = 6$ é tangente à elipse no ponto $P$. Determine as coordenadas de $P$.

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ITA IIIT 05/04/2022 18:30
$-$ A priori, analisando a reta junto a circunferência, isto é, esboçando, não é difícil perceber que temos necessariamente $\fbox{$b^2 = 5$}$, pois o centro das duas cônicas coincidem em $(0,0)$, com a elipse possuindo eixo maior nas ordenadas, visto que do contrário, não teríamos o ponto de tangência. Nessa perspectiva, isolando $x$ ou $y$ na equação da reta, e substituindo na equação da elipse, deve-se apresentar uma equação de segundo grau, a qual possui determinante igual a zero, vide o ponto de tangência. Enfim, a rigor, isolemos $y$: \begin{matrix} y = \frac{3}{2}(2-x) &\Rightarrow& \frac{x^2}{a^2} + \frac{3^2(2-x)^2}{4.5} = 1 \ \ \color{royalblue}{\text{(I)}} &\Rightarrow& x^2(20+9a^2)-36a^2x+16a^2=0 \end{matrix} Como $\Delta =0$ \begin{matrix}36^2a^4-4(16a^2)(20+9a^2)=0 &\therefore& a^2 = \large{\frac{4^2}{3^2}} \end{matrix}Substituindo $a^2$ em $\text{(I)}$, facilmente encontramos $x_P$, e consequentemente $y_P$, \begin{matrix} x_P = \frac{8}{5} &,& y_P = \frac{3}{5} &\therefore& \fbox{$P: (\frac{8}{5} \ , \ \frac{3}{5})$} \end{matrix}
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