A priori, deve-se saber que $f$ ser par significa $f(x) = f(-x)$, pensando em tal resultado, podemos partir da situação:\begin{matrix} f(x) = f(-x) + f(-1) & \color{#3368b8}{\text{(I)}} \end{matrix}Para provarmos a paridade, de algum modo devemos constatar $f(-1) = 0$, nesse sentido, têm-se:\begin{matrix}\begin{cases}f(1) = \ \ f(1) \ + \ \ f(1) \\ f(1) = f(-1) + f(-1) \end{cases} &\Rightarrow& f(1) = 0 &\Rightarrow& f(-1) = 0 \end{matrix}Com isso, substituindo nosso resultado acima em $\text{(I)}$, atestamos:\begin{matrix} f(x) = f(-x) &\therefore& \text{$f$ é par} &\tiny{\blacksquare} \end{matrix}

Para $f(xy)$ ser par $f(xy)=f(-xy)$ de acordo com o texto: $$f(xy)=f(x)+f(y)$$ Logo para $f(-xy)$ temos duas relações possíveis $$f(-xy)=f(x)+f(-y)$$ $$f(-xy)=f(-x)+f(y)$$ Somando as duas equações: $$2f(-xy)=f(x) + f(-x) + f(y) + f(-y)$$ Observa-se que $$f(x)+f(y)=f(xy)$$ $$f(-x)+f(-y)-f(xy)$$ Logo $$2f(-xy)=2f(xy)$$ $$f(-xy)=f(xy)$$ Mostrando que a função e par