Considere os contradomínios das funções arco-seno e arco-cosseno como sendo , $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ e $[0, \pi]$, respectivamente. Com respeito à função $$f:[-1,1] \rightarrow \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right], \text{ } f(x) = \arcsin x + \arccos x$$ temos que:


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ITA IIIT 29/04/2022 22:01
$-$ A priori, analisando os contradomínios das funções arco-seno e arco-cosseno, seja $\theta$ uma entrada da função arco-cosseno, temos: \begin{matrix} 0 &\le& \theta &\le& \pi &\Rightarrow& -\frac{\pi}{2} &\le& \frac{\pi}{2}-\theta &\le& \frac{\pi}{2} \end{matrix}Assim, é visível que os contradomínios das funções são compatíveis, sendo válida a relação: \begin{matrix} \theta = \arccos{x} &,& \frac{\pi}{2} - \theta = \arcsin{x} \end{matrix}Com isso, \begin{matrix} f(x) &=& \frac{\pi}{2} - \theta + \theta &=& \frac{\pi}{2} \end{matrix} Portanto, $f$ é uma função par, pois: $f(x) = f(-x) = \frac{\pi}{2}$ , além de ser $\text{constante}$: $f(x) = \frac{\pi}{2} \ \forall \ x $ , $\text{não injetora}$ e $\text{não sobrejetora}$ \begin{matrix}Letra \ (E) \end{matrix}
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